②自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化规律． (4)平均变化率的物理意义
平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s＝s(t)，在时间段[t1，t2]上的平均速度，即v＝s（t2）－s（t1）
.
t2－t1
知识点二 函数在某点处的导数
【问题1】 (1)物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？ (2)什么叫做瞬时速度？ (3)它与平均速度有什么关系？
答案 (1)物体的平均速度不能精确地反映物体的运动状态，如高台跳水运动员相对于水面的高度h与起跳时间t的函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，
65
h（）－h（0）4965
易知h()＝h(0)，v＝＝0，而运动员依然是运动状态．
4965
－046
(2)设物体运动的路程与时间的关系是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率f（t0＋Δt）－f（t0）
趋近于常数，我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度．
Δt
(3)平均速度只能粗略地描述物体的运动状态，并不能反映物体在某一时刻的瞬时速度．当时间间隔|Δt|趋近于0时，平均速度v就无限趋近于t0时的瞬时速度．
【问题2】 平均变化率与瞬时变化率有什么关系？
答案 (1)区别：平均变化率不是瞬时变化率．平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢．
Δy
(2)联系：当Δx趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它
Δx是一个固定值．
【问题3】 导数与瞬时变化率有什么关系？ 答案 导数与瞬时变化率的关系
导数是函数在x0及其附近函数的改变量Δy与自变量的改变量Δx之比在Δx趋近于0时所趋近的数，它是一个局部性的概念，若
Δy
存在，则函数y＝f(x)在x0处有导数，否则不存在导数．可以说导数就是函数在某Δx
点处的导数，例如，位移s关于时间t的导数就是运动物体在某时刻的瞬时速度．
题型一 求函数的平均变化率
求函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率． 【解析】 函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx的平均变化率为 f（x0＋Δx）－f（x0）（x0＋Δx）2－x20
＝
ΔxΔx＝
2＋2xΔx＋（Δx）2－x2
x000
Δx
2x0·Δx＋（Δx）2＝＝2x0＋Δx.
Δx●规律方法
求函数y＝f(x)平均变化率的步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)． (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. Δyf（x2）－f（x1）
(3)得平均变化率＝.
Δxx2－x1[特别提醒]
(1)求函数平均变化率时注意Δx，Δy，两者都可正、可负，但Δx的值不能为零，Δy的值可以为零． f（x0＋Δx）－f（x0）
(2)求点x0附近的平均变化率，可用的形式．
Δx
1
1．若本例中，Δx＝，x0＝1，2，3，比较函数f(x)＝x2在哪一点附近的平均变化率最大？
314
解析 x0＝1到x＝1＋＝的平均变化率
33
4??4?－12f?－f（1）?3??3?7
1
3
＝13
2
k1＝
＝， 3
7
x0＝2到x＝的平均变化率
3
7??7?－22f?－f（2）?3??3?13
1
3
＝13
＝3
2
k2＝
，
10
x0＝3到x＝的平均变化率
3
10??10?－32f?－f（3）?3??3?19
1
3
＝
13
＝3
2
k3＝
，
由于k1＜k2＜k3，
∴函数f(x)＝x2在x0＝3附近的平均变化率最大． 题型二 物体运动的瞬时速度
1
物体自由落体的运动方程是s＝gt2(g＝9.8 m/s2)，求物体在t＝3 s这一时刻的速度．
2112－g×32g（3＋Δt）Δs22
【解析】 平均速度＝
ΔtΔt1
＝g(6＋Δt)． 2
Δs1
当Δt趋于0时，＝g(6＋Δt)趋于3g，所以v＝3g＝29.4(m/s)，即物体在t＝3 s时的速度为29.4 m/s.
Δt2●规律方法
求运动物体瞬时速度的步骤
(1)求时间改变量Δt和位置改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)． Δs
(2)求平均速度v＝.
Δt
Δs
(3)求瞬时速度：当Δt无限趋近于0，无限趋近于的常数v即为瞬时速度．
ΔtΔy
提示 求(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法
Δx(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个变量来参与运算．
Δy
(2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．
Δx
2．一辆汽车按规律s＝2t2＋3做直线运动，求这辆车在t＝2时的瞬时速度(时间单位：s，位移单位：m)． 解析 设这辆车在t＝2附近的时间变化量为Δt，则位移的增量Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δ
t)2，
Δs
＝8＋2Δt，ΔtΔs
＝ (8＋2Δt)＝8. Δt
所以，这辆车在t＝2时的瞬时速度为8 m/s. 题型三 求函数在某点处的导数
1
(6分)求函数y＝x－在x＝1处的导数．
x
Δx11
【规范解答】 因为Δy＝(1＋Δx)－－(1－)＝Δx＋，(2分)
11＋Δx1＋ΔxΔx＋
1＋ΔxΔy1
所以＝＝1＋.(4分)
ΔxΔx1＋Δx当Δx→0时，f′(1)＝
Δy
＝Δx
1(1＋)＝2，
1＋Δx
Δx
1
即函数y＝x－在x＝1处的导数为2.(6分)
x●规律方法
求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δyf（x0＋Δx）－f（x0）
(2)求平均变化率＝；
ΔxΔx
Δy
. Δx
(3)取极限，得导数f′(x0)＝
3．利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数． 解析 由导数的定义知，函数在x＝2处的导数
f（2＋Δx）－f（2）
，
Δx
f′(2)＝
而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx， 于是f′(2)＝
－（Δx）2－Δx
＝
Δx
(－Δx－1)＝－1.
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