易错误区(一) 对导数的概念理解不清致误
若函数f(x)在x＝a的导数为m，那么 f（a＋2Δx）－f（a－2Δx）
的值为________．
Δx【解析】
f（a＋2Δx）－f（a－2Δx）
Δx
＝
f（a＋2Δx）－f（a）＋f（a）－f（a－2Δx）
Δxf（a＋2Δx）－f（a）
＋
Δxf（a＋2Δx）－f（a）
＋2
2Δx
f（a）－f（a－2Δx）
①
Δxf（a－2Δx）－f（a）
－2Δx
＝
＝2
＝2m＋2m＝4m. 【答案】 4m [易错防范]
1．误认为①处两极限值均为m，即运算结果为2m.
f（x0＋Δx）－f（x0）
2．对平均变化率中自变量的增加量“Δx”理解不当．在平均变化率中，分子中的“Δ
Δxx”与分母中的“Δx”应取相同值，且可正可负．
3．熟记瞬时变化率(即导数)的几种变形形式
f（x0＋Δx）－f（x0）
Δx＝
f（x0－Δx）－f（x0）
－Δxf（x0＋nΔx）－f（x0）
nΔx
f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）
＝f′(x0)．
2Δx
＝
＝
若f′(1)＝2 016，则
f（1＋Δx）－f（1）
＝________．
－2Δx
解析
f（1＋Δx）－f（1）
－2Δx
f（1＋Δx）－f（1）1
＝－f′(1)
2Δx
1
＝－
2
1
＝－×2 016＝－1 008.
2答案 －1 008
[限时50分钟，满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．质点运动规律s＝2t2＋5，则在时间(2，2＋Δt)中，相应的平均速度等于 A．8＋2Δt C．4＋Δt
4
B．8＋2Δt＋
ΔtD．8＋Δt
解析 Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2＋5－(2×22＋5)＝2(Δt)2＋8Δt. Δs2（Δt）2＋8Δt∴＝＝8＋2Δt. ΔtΔt答案 A
2．函数y＝x2－2x在x＝2附近的平均变化率是 A．2
B．Δx D．1
C．Δx＋2
解析 Δy＝f(2＋Δx)－f(2) ＝(2＋Δx)2－2(2＋Δx)－(4－4) ＝(Δx)2＋2Δx，
Δy（Δx）2＋2Δx∴＝＝Δx＋2. ΔxΔx
答案 C
3．设函数y＝f(x)可导，则A．f′(1) 1
C.f′(1) 3解析
f（1＋3Δx）－f（1）
等于
Δx
B．3f′(1) D．以上都不对
f（1＋3Δx）－f（1）
Δxf（1＋3Δx）－f（1）
＝3f′(1)．
3Δx
＝3
答案 B
4．一个物体的运动方程为s＝(2t＋1)2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在1秒末的瞬时速度是
A．10米/秒 C．12米/秒
B．8米/秒 D．6米/秒
解析 ∵s＝4t2＋4t＋1，
Δs＝[4(1＋Δt)2＋4(1＋Δt)＋1]－(4×12＋4×1＋1) ＝4(Δt)2＋12Δt，
Δs4（Δt）2＋12Δt＝＝4Δt＋12， ΔtΔt∴v＝答案 C
5．如果函数y＝f(x)＝x在点x＝x0处的瞬时变化率是3A. 4
1B. 2D．3
3
，那么x0的值是 3
Δs＝Δt
(4Δt＋12)＝12(米/秒)．
C．1
解析 函数f(x)＝x在x＝x0处的瞬时变化率，
x0＋Δx－x0
＝
Δx
Δx
Δx（
x0＋Δx＋x0）
＝13＝， 2x03
f′(x0)＝
3∴x0＝.
4答案 A
16
6．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是秒，s的单位是米)，则它的瞬时速度为0米/秒的
t时刻为
A．8秒末 C．4秒末
B．6秒末 D．2秒末
解析 设当t＝t0时该物体瞬时速度为0米/秒，
16?16
t2（t0＋Δt）2＋－?0＋t0?t0＋Δt?Δs16
∵＝＝2t0＋Δt－， ΔtΔt（t0＋Δt）t0∴
Δs16
＝2t0－2，
t0Δt
16
由2t0－2＝0得t0＝2.
t0答案 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．函数y＝－3x2＋6在区间[1，1＋Δx]内的平均变化率是________． Δy[－3（1＋Δx）2＋6]－（－3×12＋6）解析 ＝
ΔxΔx－6Δx－3（Δx）2
＝＝－6－3Δx.
Δx答案 －6－3Δx
1
8．一质点的运动方程为s＝，则t＝3时的瞬时速度为________．
t解析 由导数定义及导数的物理意义知
11－t＋Δtt
＝Δt－1
s′＝
（t＋Δt）·t·Δt
－Δt
＝∴s′ |
1
＝－，
t2t2＋t·Δt
11
＝－，即t＝3时的瞬时速度为－.
99t＝3
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