高中数学常见题型解法归纳-函数解析式的求法

高中数学常见题型解法归纳-函数解析式的求法

【知识要点】

一、求函数的解析式的主要方法有以下五种：

1、待定系数法：如果已知函数解析式的类型（函数是二次函数、指数函数和对数函数等）时，可以用待定系数法.

2、代入法：如果已知原函数3、换元法：如果已知复合函数注意新“元”的范围.

4、解方程组法：如果已知抽象函数满足的关系式中有互为相反的自变量或互为倒数的自变量时，可以用解方程组的方法.

5、实际问题法：在实际问题中，根据函数的意义求出函数的解析式. 【方法讲评】

方法一 使用情景 解题步骤 【例1】已知

待定系数法 已知函数的类型. 根据已知先设出函数的解析式，再列方程（组）求待定系数. 是一次函数，且满足

，求

.

的解析式，求复合函数

的解析式，求原函数

的解析式时，可以用代入法. 的解析式时，可以用换元法.换元时，

【点评】（1）本题由于已知函数的类型是一次函数，所以可以利用待定系数法求函数的解析式.（2）由于

对于定义域内的任意一个值都成立，所以最后的

实际上是一个恒等式，所以可以比较等式两边的系数分别相等列方程组.

【例2】已知函数（的图形的一个最高点为（2，），由这个最

高点到相邻的最低点时曲线经过（6，0），求这个函数的解析式.

【解析】由题得

【点评】(1)对于三角函数，待定系数法同样适用，关键是通过已知条件找到关于待定系数的方程 （组）.(2)对于三角函数方程，利用最值点得到【反馈检测1】已知段长为2

方法二 使用情景 求对称区间的解析式. （1）直接代入原函数的解析式即可；（2）一般先在所求的函数的图像上任意取一点，解题步骤 然后求出它的对称点的坐标，再把对称点的坐标代入对称点满足的方程.

【例3】已知函数【解析】由题得

，求函数

的表达式.

”代换原函数

代入法 （1）已知原函数的解析式，求复合函数的解析式；（2）已知某区间的函数的解析式，,求

的方程.

为二次函数，且

，且

,图象在轴上截得的线

来说，一般利用最小正周期得到

的方程，利用最值得到

的

的解析式.

【点评】本题就是已知原函数的解析式，求复合函数的解析式，所以只需直接用“中的“”即可.这就是代入法求函数的解析式.

【例4】已知函数

时，

是定义在

上的奇函数，且当

时，

，求当

的函数解析式.

【点评】本题就是已知某区间的函数的解析式，求对称区间的解析式. 一般先在所求的函数的图像上 任意取一点，然后求出它的对称点的坐标，再把对称点的坐标代入对称点满足的方程.这是高中数学常见到的一种题型，要好好地理解和掌握.

【反馈检测2】设函数函数

方法三 使用情景 解题步骤 的表达式.

的图象为，关于点对称的图象为， 求对应的

换元法 已知复合函数的解析式，求原函数的解析式. 先换元，求出函数的自变量的表达式，再代入复合函数得到函数的解析式. 【例5】已知，求.

【解析】令（），则，∴，

所以.

【点评】（1）本题就是已知复合函数的解析式，求原函数的解析式.一般先换元，再求出函数的自变量的表达式，再代入复合函数得到函数的解析式.（2）换元时，一定要注意新元的取值范围，它就是所求函数的定义域.

【反馈检测3】 已知方法四 使用情景 解题步骤 求

的解析式. 解方程组法 已知抽象函数满足的关系式中有互为相反的自变量或互为倒数的自变量. 利用已知构造另一个方程，得到一个方程组，解方程组即可. 【例6】已知满足，求．

【解析】 ①，把①中的换成，得 ②，

①②得，∴．

【点评】在已知的方程中有自变量和，它们互为倒数，所以可以把方程中的地方统一换成，

从而又得到一个关于

【反馈检测5】定义在区间 方法五 使用情景 解题步骤

【例7】某人开汽车以

的速度返回

函数，再把车速

的方程，解关于

上的函数

满足

的方程组即可.

，求

的表达式.

实际问题法 实际问题 一般情况下根据函数的意义求出函数的解析式，要注意函数的定义域. 的速度从地到远处的表示为时间

地，在

（从

地停留后，再以

地，把汽车离开表示为时间

地的路程的函数．

地出发是开始）的

【点评】实际问题中求函数的解析式难度比较大，一般要认真读题，再根据函数的意义、自变量的意义及其它们之间的关系建立它们之间的函数关系.在写函数的解析式时，要注意函数的定义域.

【反馈检测6】某公司生产一种产品的固定成本为

万元，但每生产

件需要增加投入

万元，