课时分层作业(十六) 空间向量的正交分解
及其坐标表示
(建议用时：60分钟)
一、选择题 1．给出下列命题：
①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底；
②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底； →→→
③A，B，M，N是空间四点，若BA，BM，BN不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；
④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．
其中正确命题的个数是( ) A．1 C．3
B．2 D．4
D [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个→→→→→
基底．显然②正确．③中由BA，BM，BN不能构成空间的一个基底，知BA，BM，→→→→
BN共面．又BA，BM，BN过相同点B，知A，B，M，N四点共面．所以③正确．下面证明①④正确：①假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵dλμ
与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc．∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，
kk∴c与a，b共面，与条件矛盾，∴d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．于是①②③④四个命题都正确，故选D．]
2．已知i，j，k是空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位→
向量，且AB＝－i＋j－k，则B点的坐标为( )
A．(－1,1，－1)
B．(－i，j，－k)
C．(1，－1，－1) D．不确定
→→
D [AB＝－i＋j－k，只能确定AB的坐标为(－1,1，－1)，而A点坐标不确定，所以B点坐标也不确定．]
3．正方体ABCD-A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以→→→→→→→
{AO1，AO2，AO3}为基底，AC′＝xAO1＋yAO2＋zAO3，则x，y，z的值是( )
A．x＝y＝z＝1 2
C．x＝y＝z＝2 →→→→A [AC′＝AA′＋AD＋AB
1→→1→→1→→＝2(AB＋AD)＋2(AA′＋AD)＋2(AA′＋AB) 1→1→1→→→→＝2AC＋2AD′＋2AB′＝AO1＋AO3＋AO2， 由空间向量的基本定理，得x＝y＝z＝1．]
→→→
4．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝OA＋OB＋OC，向→→→
量b＝OA＋OB－OC，则与a，b不能构成空间基底的向量是( )
→A．OA →C．OC
→B．OB →→D．OA或OB 1
B．x＝y＝z＝2 D．x＝y＝z＝2
→→
C [因为a－b＝2OC，所以a，b与OC共面，不能构成空间的一个基底．] 1
5．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝4→
A1B1，则BE等于( )
1??
A．?0，4，－1?
??
?1?B．?－4，0，1?
??1??0，－?C． 4，1????1?D．?4，0，－1?
??
3?1?→??
C [由题图知B(1,1,0)，E?1，4，1?，所以BE＝?0，－4，1?．]
????二、填空题
6．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________．
1 －1 [因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋
?1＝λx，
λyb＋λc，于是有?－1＝λy，
?1＝λ，
?x＝1，解得?]
?y＝－1.
→
7．如图， 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若AB＝→→→
a，AD＝b，AA1＝c，则B1M＝________．
111→1→→→→1→→→→
－2a＋2b－c [B1M＝AM－AB1＝2(AB＋AD)－(AB＋AA1)＝－2AB＋2AD－11→
AA1＝－2a＋2b－c．]
8．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，建立如图所示的空间直角坐标→
系，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1，则MN的坐标为________．
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