2020-2021学年人教A版数学选修2-1课时分层作业：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

→→→

2．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，向量a在基底{AB，AD，AA1}下的坐标→→→

为(2,1，－3)，则向量a在基底{DA，DC，DD1}下的坐标为( )

A．(2,1，－3) C．(1，－8,9)

B．(－1,2，－3) D．(－1,8，－9)

→→→→→→→→

B [∵a＝2AB＋AD－3AA1＝2DC－DA－3DD1＝－DA＋2DC－3DD1，∴向量→→→

a在基底{DA，DC，DD1}下的坐标为(－1,2，－3)，故选B．]

→→

3．在空间四边形ABCD中，AB＝a－2c，CD＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD→

的中点分别是E，F，则EF＝________．

51→→1→1→1→→1→→1→→

3a－2b＋3c [EF＝2(ED＋EB)＝4(AD＋CD)＋4(AB＋CB)＝4AB＋4BD＋4CD1→1→1→1→→5

＋4AB＋4CD＋4DB＝2(AB＋CD)＝3a－2b＋3c．]

4．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为________；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为__________．

?31?

(1,1,1) ?2，2，－1? [由题意知p＝2a＋b－c，

??则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1,1,1)， 设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则 p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc， 又∵p＝2a＋b－c，

?x＋y＝2

∴?x－y＝1?z＝－1

31

，解得x＝2，y＝2，z＝－1；

?31?

∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为?2，2，－1?．]

??

→

5．已知正四面体ABCD的棱长为1，试建立恰当的坐标系并表示出向量AB，

→→

AC，AD的坐标．

[解] 过点A作AG垂直平面BCD于点G，所以G为△BCD的中心， 过点G作GF∥CD， 延长BG交CD于点E， 则E为CD的中点．

以G为坐标原点，GF，GE，GA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz，

因为△BCD的边长为1，

33GF2

所以BE＝2，GE＝6，又CE＝3， 2113

所以GF＝3×2＝3，又BG＝3， 所以AG＝6?3?2

1－??＝3．

?3?

2

设单位正交基底为{e1，e2，e3}，则

36?36?→→→

AB＝GB－GA＝－3e2－3e3＝?0，－，－?．

33??→→→→→→

AC＝GC－GA＝GE＋EC－GA 316＝6e2＋2e1－3e3 ?136?＝?，，－?，

3??26

→→→→→→

AD＝GD－GA＝GE＋ED－GA

316?136?＝6e2－2e1－3e3＝?－，，－?．

3??26