江西省上饶市横峰县港边乡中学高二数学下学期第一次月考试题 理

（2）因为f'??1??0,所以a?令f'?x??0，则x?11,?f?x??x3?x2?4x?2,f'?x??3x2?x?4， 22509?4?f????,f??1??,f??2??0,f?2??0，

4或x??1，又3?3?272?f?x?在在??2,2?上的最大值、最小值分别为9502,?27.

20.解：(1)∵f(x)＝ax3

＋bx2

的图象经过点M(1,4)，

∴a＋b＝4. ①

f′(x)＝3ax2＋2bx，则f′(1)＝3a＋2b，

由已知得f′(1)·(－1

9)＝－1，即3a＋2b＝9， ②

由①②式解得a＝1，b＝3.

(2)f(x)＝x3

＋3x2

，f′(x)＝3x2

＋6x， 令f′(x)＝3x2＋6x≥0，得x≥0或x≤－2， ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－2]和[0，＋∞)． 由条件知m≥0或m＋1≤－2， ∴m≥0或m≤－3.

21．解：f?x?的单调递减区间为???,0?；f?x?的单调递增区间为?0,???. （2）由f?x??0，分离参数可得：a?x?1ex， 设g?x??x?1ex，x??0,???， ∴g'?x???xex，又∵x?0，

∴g'?x???xex?0，则g?x?在?0,???上单调递减，

∴g?x??g?0??1，∴a?1 即a的取值范围为?1,???.

22.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．

设g(x)＝ax－a－ln x，

则f(x)＝xg(x)，f(x)≥0等价于g(x)≥0． 因为g(1)＝0，g(x)≥0，故g′(1)＝0， 而g′(x)＝a－1

x，g′(1)＝a－1，得a＝1．

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1

若a＝1，则g′(x)＝1－．

x当01时，g′(x)>0，g(x)单调递增． 所以x＝1是g(x)的极小值点，故g(x)≥g(1)＝0． 综上，a＝1．

(2)证明：由(1)知f(x)＝x－x－xln x，

2

f ′(x)＝2x－2－ln x．

1

设h(x)＝2x－2－ln x，则h′(x)＝2－．

x1

当x∈(0，)时，h′(x)<0；

21

当x∈(，＋∞)时，h′(x)>0．

2

11

所以h(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．

221－2

又h(e)>0，h()<0，h(1)＝0，

2

11

所以h(x)在(0，)上有唯一零点x0，在[，＋∞)上有唯一零点1，且当x∈(0，x0)时，

22

h(x)>0；当x∈(x0,1)时，h(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0．

因为f ′(x)＝h(x)，所以x＝x0是f(x)的唯一极大值点． 由f ′(x0)＝0，得ln x0＝2(x0－1)，故f(x0)＝x0(1－x0)． 11

由x0∈(0，)得f(x0)<．

24

因为x＝x0是f(x)在(0,1)上的最大值点，

由e∈(0,1)，f ′(e)≠0得f(x0)>f(e)＝e． 所以e

－2

－2

－1

－1

－1

－2

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