6.1 (2012·泰州中学期中)已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x(a，b∈R)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋2＝0.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤c，求实数c的最小值； (3)若过点M(2，m)(m≠2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围． 解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3.
???f?1?＝－2，?a＋b－3＝－2，
根据题意，得?即?
??f′?1?＝0，3a＋2b－3＝0，????a＝1，
解得?
?b＝0.?
所以f(x)＝x3－3x.
(2)令f′(x)＝0，即3x2－3＝0，得x＝±1.
x f′(x) f(x) 因为f(－1)＝2，f(1)＝－2，
所以当x∈[－2,2]时，f(x)max＝2，f(x)min＝－2.
则对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤|f(x)max－f(x)min|＝4，所以c≥4，
即c的最小值为4.
(3)因为点M(2，m)(m≠2)不在曲线y＝f(x)上，所以可设切点为(x0，y0)．因为f′(x0)＝3x20－3，所以切线的斜率为3x20－3.[来源:学_科_网Z_X_X_K]
则
x30－3x0－m2
3x0－3＝，即
x0－2
2
2x30－6x0＋6＋m＝0.
－2 －2 (－2，－1) ＋ －1 0 极大值 (－1,1) － 1 0 极小值 (1,2) ＋ 2 2 2
因为过点M(2，m)(m≠2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，所以方程2x30－6x0＋6＋m＝0有三个不
同的实数解．
所以函数g(x)＝2x3－6x2＋6＋m有三个不同的零点． 则g′(x)＝6x2－12x.令g′(x)＝0，则x＝0或x＝2.
x g′(x) g(x)
(－∞，0) ＋ 0 0 极大值 (0,2) － 2 0 极小值 (2，＋∞) ＋ 13 / 22
???g?0?>0，?6＋m>0，则?即?解得－6 所以m的取值范围为(－6,2)． 本题考查导数的几何意义、不等式恒成立、极值、最值等问题，一、二两问中规中矩，掌握好计算方法即可，第三问主要能够将“若过点M(2，m)(m≠2)可作曲线y＝f(x)的三条切线”转化成“关 3 于切点横坐标x0的方程2x0－6x20＋6＋m＝0有三个不同的实数解”，问题就迎刃而解了． 有关联题 6.2 (2012·无锡一中)已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2，a∈R. (1)若a<0时，试求函数y＝f(x)的单调递减区间； (2)若a＝0，且曲线y＝f(x)在点A，B(A，B不重合)处切线的交点位于直线x＝2上，证明：A，B两点的横坐标之和小于4； (3)如果对于一切 x1，x2，x3∈[0,1]，总存在以f(x1)，f(x2)，f(x3)为三边长的三角形，试求正实数a的取值范围． a x－?. 解：(1)函数f(x)的导函数f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝3(x＋a)??3?a 因为a<0，由f′(x)<0，解得 3a?所以函数y＝f(x)的单调递减区间为??3，－a?. (2)当a＝0时，f(x)＝x3＋2. 3 设在点A(x1，x31＋2)，B(x2，x2＋2)处的切线交于直线x＝2上一点P(2，t)． 因为y′＝3x2， 所以曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为k＝3x21， 所以在点A处的切线方程为 2y－(x31＋2)＝3x1(x－x1)． 332因为切线过点P，所以t－(x1＋2)＝3x21(2－x1)，即2x1－6x1＋(t－2)＝0. 3同理可得2x2－6x22＋(t－2)＝0. 322两式相减得2(x31－x2)－6(x1－x2)＝0，[来源:Zxxk.Com] 2即(x1－x2)(x21＋x1x2＋x2)－3(x1－x2)(x1＋x2)＝0. 因为x1－x2≠0， 2所以x21＋x1x2＋x2－3(x1＋x2)＝0. 即(x1＋x2)2－x1x2－3(x1＋x2)＝0. 因为x1x2≤? x1＋x2?2 ?2?，且x1≠x2， 14 / 22 所以x1x2 x1＋x2?2?2?. x1＋x2?2 ?2?－3(x1＋x2)<0，即(x1＋x2)(x1＋x2－4)<0. 从而上式可以化为(x1＋x2)2－?解得0 即A，B两点的横坐标之和小于4. (3)由题设知，f(0) 即2<2(－a2＋a＋3)，解得－1 a 0，?时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 所以当x∈??3?a? 当x∈??3，1?，f′(x)>0，f(x)单调递增． a?a53所以当x＝时，f(x)有最小值f?＝－a＋2. ?3?327 ???5?从而条件转化为?f?0?<2－27a＋2，② ???－5a＋2?.③?f?1?<2??27? 33 a?53 f?＝－a＋2>0，①?3?27 33233 由①得a<；由②得a< .再根据0 33355510 不等式③化为a3－a2＋a－1<0. 27 1010 令g(a)＝a3－a2＋a－1，则g′(a)＝a2－2a＋1>0，所以g(a)为增函数． 279 ?0，3?1 又g(2)＝－<0，所以当a∈?3?时， 275?? g(a)<0恒成立，即③成立． [专题技法归纳] (1)利用导数研究函数极值问题需注意解题步骤． (2)根据函数的极值求参数值一定要注意进行检验． (3)利用导数研究函数最值问题讨论思路很清晰，但计算比较复杂，其次有时需要二次求导研究导函数的最值来判断导函数的正负． 6.3(2012·盐城模拟)已知f(x)为R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝ln(x＋2)． 15 / 22 (1)当x<0时，求f(x)的解析式； (2)当m∈R时，试比较f(m－1)与f(3－m)的大小； (3)求最小的整数m(m≥－2)，使得存在实数t，对任意的x∈[m,10]，都有f(x＋t)≤2ln|x＋3|. 解：(1)当x<0时，f(x)＝f(－x)＝ln(－x＋2)． (2)当x≥0时，f(x)＝ln(x＋2)单调递增，而f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减． 所以f(m－1)＞f(3－m)?|m－1|>|3－m| ?(m－1)2>(3－m)2?m>2. 所以当m>2时，f(m－1)>f(3－m) ； 当m＝2时，f(m－1)＝f(3－m)； 当m<2时，f(m－1) (3)当x∈R时，f(x)＝ln(|x|＋2)，则由f(x＋t)≤2ln|x＋3|，得ln(|x＋t|＋2)≤ln(x＋3)2， 即|x＋t|＋2≤(x＋3)2对x∈[m,10]恒成立 2 ??t≤x＋5x＋7， 从而有?对x∈[m,10]恒成立， 2 ?t≥－x－7x－7，? 因为m≥－2, 22??t≤?x＋5x＋7?min＝m＋5m＋7，所以? 22 ?t≥?－x－7x－7?＝－m－7m－7.?max 因为存在这样的t ，所以－m2－7m－7≤m2＋5m＋7， 即m2＋6m＋7≥0. 又m≥－2，所以适合题意的最小整数m＝－1. [专题技法归纳] (1)恒成立问题的处理方法： 第一步，分清参数和自变量；第二步，确定是否要分离；第三步，构造新函数求最值；第四步，解不等式． (2)有双重量词出现的不等式恒成立问题，先把其中一个自变量当成已知的参数，解决一个量词，然后再解决另一个量词． (3)证明与函数有关的不等式主要是利函数的最值和单调性来判断． (4)方程的根的个数问题往往考查函数与方程思想和函数零点问题，需注意等价转化． 6.4（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知函数f(x)?ax?x2?xlna(a?0,a?1). （1） 求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （2） 求函数f(x)单调区间； （3） 若存在x1,x2?[?1,1]，使得f(x1)?f(x2)?e?1(e是自然对数的底数），求实数a的取值 范围. 16 / 22
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