2010年湖南省高考适应性测试
数 学（理科）
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页。时量120分钟。满分150分。
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求． 1．复数(2?i)i的虚部是
A．1 B．?1 C．2 D．?2 2．下列命题中的真命题是
A．?x?R,x3≥x2 C．?x?R,?y?R,y2?x 3．??1(sinx?1)dx的值为
A．0
B．2
C．2?2cos1
D．2?2cos1
1B．?x?R,x3?x2
D．?x?R,?y?R,y?x?y
4．从5位男生，4位女生中选派4位代表参加一项活动，其中至少有两位男生，且至少有
1位女生的选法共有
A．80种 B．100种 C．120种 D．240种 B 5．如图1，在?ABC中，AB?5，BC?3，CA?4，
????????且O是?ABC的外心，则OC?CA?
O A．6 C．8
B．?6
D．?8 C A
图1 数学（理科）试题 第1页（共5页）
6． 如图2，四边形ABCD中，DF?AB，垂足为F，
DF?3，AF?2FB?2，延长FB到E，使BE?FB，
D 连结BD，EC．若BD//EC，则四边形ABCD的 面 积为 A．4
B．5
AFBC C．6 D．7
7．设一直角三角形两直角边的长均是区间(0,1)的随机
数，则斜边的长小于A．
9π6434E图2 的概率为
964 B． C．
9π16 D．
916
8．图3中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数
S?S(a)(a≥0)是图3中阴影部分介于平行线y?0及y?a之间的那一部分的面积，
则函数S(a)的图象大致为
O123aO12S(a)S(a)y321y=a123Ox图3 S(a)S(a)3aO123aABO1C2D3a数学（理科）试题 第2页（共5页）
二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡对应题号后的．．．
横线上．
?4x?3y?8?0,?9．不等式组?x?0,表示的平面区域内的整点坐标为 ．
?y?0?10．某化工厂准备对一化工产品进行技术改造，决定优选加工温度，假定最佳温度在60?C
到81?C之间．现用分数法进行优选，则第二次试点的温度为 ?C． 11．程序框图（算法流程图）如图4所示，其输出结果A? ． 12．在某赛季篮球比赛中，甲、乙两名运动员每场比赛的得 分统计茎叶图如图5所示，则发挥较稳定的运动员是 ．
甲 乙 0 8 5 2 1 3 4 6 5 4 2 3 4 6 9 7 6 6 1 1 3 3 8 9 9 4 4 8 0 5 5 8 图5 k=k+1B=2A+1k=1A=1开始A=B13．已知x，y，z?R，x2?y2?z2?1，则x?2y?2z的 最大值为 ．
14．已知四棱锥P?ABCD的三视图如图6所示，则四棱锥 P?ABCDk>5?是输出A否的体积为 ，其外接球的表面积为
．
1俯视图结束22图4 1正视图1侧视图1图6 数学（理科）试题 第3页（共5页）
15．已知数列?an?是各项均为正整数的等差数列，公差d?N*，且?an?中任意两项之和
也是该数列中的一项．
（1）若a1?4，则d的取值集合为 ；
（2）若a1?2m(m?N?)，则d的所有可能取值的和为 ．
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
已知向量a?(sin(3x?π4),cos3x)，函数f(x)?2a2．求：
（Ⅰ）函数f(x)的最小值； （Ⅱ）函数f(x)的单调递增区间． 17．（本小题满分12分）
某校在招收体育特长生时，须对报名学生进行三个项目的测试．规定三项都合格者才能录取．假定每项测试相互独立，学生A各项测试合格的概率组成一个公差为差数列，且第一项测试不合格的概率超过概率为
9321218的等
，第一项测试不合格但第二项测试合格的
．
（Ⅰ）求学生A被录取的概率；
（Ⅱ）求学生A测试合格的项数X的分布列和数学期望．
18．（本小题满分12分）
在如图7所示的几何体中，AE?平面
?1，?ACB?90?，AE=2CD=2，CD∥
E，是
DFC的中点，AC?BC
．
（Ⅰ）证明 DF?平面ABE； （Ⅱ）求二面角A?BD?E的余弦值．
数学（理科）试题 第4页（共5页）
AB图7 19．（本小题满分13分）
已知函数f(x)?1?m?lnxx，m?R．
（Ⅰ）求f(x)的极值；
（Ⅱ）若lnx?ax?0在(0,??)上恒成立，求a的取值范围．
20．（本小题满分13分）
在一条笔直的工艺流水线上有n个工作台，将工艺流水线用如图8所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为x1，x2，?，xn，每个工作台上有若干名工人．现要在流水线上建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短． （Ⅰ）若n?3，每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；
（Ⅱ）若n?5，工作台从左到右的人数依次为3，2，1，2，2，试确定供应站的位
置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．
21．（本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，已知点A(12,0)x1x2x3...xnx图8 ，点B在直线l:x??12上运动，过点B与l垂
直的直线和AB的中垂线相交于点M． （Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设点P是轨迹E上的动点，点R，N在y轴上，圆C:?数）内切于?PRN，求?PRN的面积的最小值．
?x?1?cos??y?sin?（?为参
数学（理科）试题 第5页（共5页）
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