巧用旋转进行计算
类型之一 利用旋转构造等腰三角形
由旋转性质1：对应点到旋转中心的距离相等，可得对应点与旋转中心所构成的三角形是等腰三角形．
1．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC，A′B′相交于点O，则∠COA′的度数是( )
图1
A．50° B．60° C．70° D．80°
2．如图2，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为( )
图2
A．90°－α C．180°－α
B．α
D．2α
3．如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△A′B′C是由△ABC绕点C顺时针旋转得到的，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且点A，B′，A′在同一条直线上，则AA′的长为( )
图3
A．6
B．4 3 C．3 3
D．3
4．如图4，△COD是由△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形．若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是________．
图4
类型之二 利用旋转构造等腰直角三角形
如果旋转角为90°，那么对应点与旋转中心构成的三角形是等腰直角三角形． 5．如图5，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，连接BB′.若∠A′B′B＝20°，则∠A的度数是________．
图5
6．如图6，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE＝1.把△ADE以点A为中心顺时针旋转90°，得△ABE′，连接EE′，则EE′的长等于________．
图6
类型之三 利用旋转构造等边三角形
如果旋转角是60°，那么对应点与旋转中心构成的三角形是等边三角形．
7．如图7所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n(n<90)度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为( )
图7
A．30，2 B．60，2 C．60，3
D．60，3 2
8．如图8所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C的位置，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长为________．
图8
9.如图9，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，若AB＝3，BC＝4，则BD＝________．
图9
10．如图10，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝105°，∠BOC等于α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD.
(1)求证：△COD是等边三角形； (2)求∠OAD的度数；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
图10
11．如图11，在等边三角形ABC中，D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE.
(1)求证：AD＝DE； (2)求∠DCE的度数；
(3)若BD＝1，求AD，CD的长．
图11
12．请阅读下列材料：
问题：如图12①，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝3，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形(如图②)，连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证)，所以∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠AP′B＝150°，进而求出等边三角形ABC的边长为7，问题得到解决．
请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝5，PB＝2，PC＝1.求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．
图12
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