1．B [解析] ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°， ∴∠A＝180°－∠ACB－∠B＝40°. 由旋转的性质可知BC＝B′C， ∴∠B＝∠BB′C＝50°.
又∵∠BB′C＝∠A＋∠ACB′＝40°＋∠ACB′， ∴∠ACB′＝10°，
∴∠COA′＝∠OB′C＋∠ACB′＝∠B＋∠ACB′＝60°.
11
2．C [解析] 由题意可得，∠ABE＝α，BE＝BA，∴∠BAE＝∠E＝(180°－∠ABE)＝221
(180°－α)＝90°－α，
2
1
∴∠BAC＝90°－α，∴∠CAD＝∠BAC＋∠BAE＝180°－α，故选C.
2
3．A [解析] ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠CAB＝30°.∵BC＝2，∴AB＝4.
∵△A′B′C由△ABC绕点C顺时针旋转得到的，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，且点A，B′，A′在同一条直线上，∴AB＝A′B′＝4，AC＝A′C，∠A′B′C＝∠B＝60°，∴∠A′＝30°.又∵AC＝A′C，∴∠CAA′＝∠A′＝30°，∴∠ACB′＝∠A′B′C－∠CAA′＝60°－30°＝30°，则∠ACB′＝∠B′AC，∴AB′＝B′C＝2，∴AA′＝2＋4＝6.
4．60° [解析] 由旋转的性质，得∠AOC＝∠BOD＝40°，OA＝OC，则∠A＝∠ACO＝70°. 由∠AOD＝90°，得∠BOC＝∠AOD－(∠AOC＋∠BOD)＝10°.∴∠B＝∠ACO－∠BOC＝70°－10°＝60°.
5．65° [解析] ∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，
∴△BCB′是等腰直角三角形，∴∠CBB′＝45°.∴∠B′A′C＝∠A′B′B＋∠CBB′＝20°＋45°＝65°.
由旋转的性质得∠A＝∠B′A′C＝65°.
6．2 5 [解析] ∵DE＝1，AD＝3，∠D＝90°，∴AE＝AD＋DE＝3＋1＝10. 由旋转的性质得∠EAE′＝90°，AE＝AE′，∴EE′＝AE＋AE′＝10＋10＝20，即EE′＝2 5.
2
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2
2
2
2
2
7．C [解析] ∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2， ∴∠B＝60°，AB＝2BC＝4，AC＝AB－BC＝2 3. ∵△EDC是由△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到的， ∴CD＝BC＝2，∠CDE＝∠B＝60°. ∵∠B＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD＝60°，∴∠DCF＝30°， ∴∠DFC＝90°， 即DE⊥AC，∴DE∥BC. 1
∵BD＝BC＝AB＝2，
2∴DF是△ABC的中位线，
1111
∴DF＝BC＝×2＝1，CF＝AC＝×2 3＝3，
2222113
∴S阴影＝DF·CF＝×1×3＝.故选C.
222
8.3 [解析] ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，∴A′C＝AC＝1，AB＝2，BC＝3.
∵∠A＝60°，∴△AA′C是等边三角形， 1
∴AA′＝AB＝1，∴A′C＝A′B，
2∴∠A′CB＝∠A′BC＝30°. ∵△A′B′C是由△ABC旋转而成的， ∴∠A′CB′＝90°，BC＝B′C， ∴∠B′CB＝90°－30°＝60°，
∴△BCB′是等边三角形，∴BB′＝BC＝3. 9．5 [解析] 连接BE.
∵△DCB绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝30°， ∴∠BCE＝60°，CB＝CE，AE＝BD， ∴△BCE是等边三角形， ∴∠CBE＝60°，BE＝BC＝4，
∴∠ABE＝∠ABC＋∠CBE＝30°＋60°＝90°，
2
2
∴AE＝AB＋BE＝3＋4＝5. 又∵AE＝BD，∴BD＝5.
10．解：(1)证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC， ∴△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，∴OC＝CD， ∴△OCD是等边三角形．
(2)∵∠AOB＝105°，∠BOC＝α，
∴∠AOC＝360°－∠AOB－∠BOC＝360°－105°－α. ∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC， ∴△BCO≌△ACD，∴∠ADC＝∠BOC＝α.
∴∠OAD＝360°－∠AOC－∠OCD－∠ADC＝360°－(360°－105°－α)－60°－α＝45°.
(3)∵由(1)知△COD是等边三角形， ∴∠COD＝60°.由(2)知∠OAD＝45°.
若△AOD是等腰三角形，则分以下三种情况讨论：
当OA＝OD时，∠AOD＝90°，α＝360°－105°－60°－90°＝105°； 当OA＝AD时，∠AOD＝67.5°，α＝360°－105°－60°－67.5°＝127.5°； 当AD＝OD时，∠AOD＝45°，α＝360°－105°－60°－45°＝150°. 综上所述，当α＝105°，127.5°或150°时，△AOD是等腰三角形． 11．解：(1)证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE， ∴△ABD≌△ACE，∠BAC＝∠DAE， ∴AD＝AE，BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°. ∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°， ∴∠DAE＝60°，
∴△ADE为等边三角形，∴AD＝DE.
(2)∵∠ADC＝90°，∠AEC＝120°，∠DAE＝60°， ∴∠DCE＝360°－∠ADC－∠AEC－∠DAE＝90°.
(3)∵△ADE为等边三角形，∴∠ADE＝60°，∴∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝30°. 又∵∠DCE＝90°，∴DE＝2CE＝2BD＝2. ∴AD＝DE＝2.
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在Rt△DCE中，CD＝DE－CE＝2－1＝3.
12．解：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A. ∴AP′＝PC＝1，BP′＝PB＝2. 连接PP′，如图．在Rt△BP′P中， ∵PB＝BP′＝2，∠PBP′＝90°， ∴PP′＝2，∠BP′P＝45°.
2222
在△AP′P中，AP′＝1，PP′＝2，PA＝5， ∵1＋2＝(5)， 即AP′＋PP′＝PA， ∴△AP′P是直角三角形， 即∠AP′P＝90°. ∴∠AP′B＝135°， ∴∠BPC＝∠AP′B＝135°.
过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E，则△BEP′是等腰直角三角形， ∴∠EP′B＝45°. 又∵BP′＝2，
∴EP′＝BE＝1，∴AE＝2. 在Rt△ABE中， ∵BE＝1，AE＝2，
∴由勾股定理，得AB＝5.
综上可得，∠BPC＝135°，正方形ABCD的边长为5.
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