1 ?sinxdx?1?1?1?1? ? ? ? 0x3?3!5?5!7?7!
因为第四项 1?17?7!30000
所以取前三项的和作为积分的近似值:
1 ?sinxdx?1?1?1?0.94610x3?3!5?5!
二、欧拉公式
复数项级数: 设有复数项级数 (u1+iv1)+(u2+iv2)+
+(un+ivn)+
其中un , vn (n=1, 2, 3, )为实常数或实函数. 如果实部所成的级数
u1+u2 + +un+
收敛于和u, 并且虚部所成的级数.
v1+v2+ +vn+
收敛于和v, 就说复数项级数收敛且和为u+iv. 绝对收敛:
22?vn 如果级?(un?ivn)的各项的模所构成的级数?un收敛,
n?1n?1??则称级数?(un?ivn)绝对收敛.
n?1? 复变量指数函数: 考察复数项级数
第 46 页
1?z?1z2? ? ? ? ?1zn? ? ? ? .
2!n!可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的, 在x轴上它表示指数函数e, 在复平面上我们用它来定义复变量指数函数, 记为e. 即 ez?1?z?1z2? ? ? ? ?1zn? ? ? ? .
2!n!z
x
欧拉公式: 当x=0时, z=iy , 于是 eiy?1?iy?1(iy)2? ? ? ? ?1(iy)n? ? ? ?
2!n! ?1?iy?1y2?i1y3?1y4?i1y5? ? ? ?
2!3!4!5! ?(1?1y2?1y4? ? ? ? )?i(y?1y3?1y5? ? ? ? )
2!4!3!5! =cos y+isin y. 把y定成x得
eix=cos x+i sin x,
这就是欧拉公式.
复数的指数形式: 复数z可以表示为
z=r(cosq +isinq)=reiq ,
其中r=|z|是z的模, q =arg z是z的辐角. 三角函数与复变量指数函数之间的联系:
因为eix=cos x+i sin x, e-ix=cos x-i sin x, 所以
eix+e-ix=2cos x, ex-e-ix=2isin x.
第 47 页
cosx?1(eix?e?ix), sinx?1(eix?e?ix).
22i这两个式子也叫做欧拉公式. 复变量指数函数的性质: ez1?z2?ez1?ez2.
特殊地, 有ex+iy =ex ei y =ex (cos y+ isin y)
§11.7 傅里叶级数
一、三角级数 三角函数系的正交性 三角级数: 级数
?1 a0??(ancosnx?bnsinnx) 2n?1称为三角级数, 其中a0, an, bn (n = 1, 2, 三角函数系:
)都是常数.
1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, × × ×, cos nx, sin nx, × × ×
三角函数系的正交性: 三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间[-p, p]上的积分等于零, 即
???cosnxdx?0 (n=1, 2, × × ×), ?sinnxdx?0 (n=1, 2, × × ×),
???? ???sinkxcosnxdx?0 (k, n=1, 2, × × ×),
第 48 页
? ?sinkxsinnxdx?0 (k, n=1, 2, × × ×, k???n), n).
?coskxcosnxdx?0 (k, n=1, 2, × × ×, k???三角函数系中任何两个相同的函数的乘积在区间[-p,p]上的积分不等于零, 即
?12dx?2?,
??? ?cos2nxdx?? (n =1, 2, × × ×),
??? ?sin2nxdx?? (n =1, 2, × × ×).
??? 二、函数展开成傅里叶级数
问题: 设f(x)是周期为2p的周期函数, 且能展开成三角级数:
a0? f(x)???(akcoskx?bksinkx).
2k?1那么系数a0, a1, b1, × × × 与函数f(x)之间存在着怎样的关系? 假定三角级数可逐项积分, 则 ????????a0f(x)cosnxdx??cosnxdx??[ak?coskxcosnxdx?bk?sinkxcosnxdx].
??2????k?1?类似地?f(x)sinnxdx?bn?.
?? 傅里叶系数:
a0?1?f(x)dx,
??? an?1?f(x)cosnxdx, (n =1, 2, × × ×),
???第 49 页
?? bn?1?f(x)sinnxdx, (n =1, 2, × × ×).
????系数a0, a1, b1, × × × 叫做函数f(x)的傅里叶系数. 傅里叶级数: 三角级数
a0? ??(ancosnx?bnsinnx)
2n?1称为傅里叶级数, 其中a0, a1, b1, 问题: 一个定义在(-, +
是傅里叶系数.
)上周期为2p的函数f(x), 如果它在一个周
期上可积, 则一定可以作出f(x)的傅里叶级数. 然而, 函数f(x)的傅里叶级数是否一定收敛? 如果它收敛, 它是否一定收敛于函数f(x)? 一般来说, 这两个问题的答案都不是肯定的.
定理(收敛定理, 狄利克雷充分条件) 设f(x)是周期为2p的周期函数, 如果它满足: 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点, 在一个周期内至多只有有限个极值点, 则f(x)的傅里叶级数收敛, 并且 当x是f(x)的连续点时, 级数收敛于f(x);
当x是f(x)的间断点时, 级数收敛于1[f(x?0)?f(x?0)].
2 例1 设f(x)是周期为2p的周期函数, 它在[-p, p)上的表达式为 f(x)????1 ???x?0
? 1 0?x??将f(x)展开成傅里叶级数.
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