同济五版《高等数学》讲稿WORD版-第11章无穷级数60页word 

能收敛也可能发散.

例5 证明级数1?1?1?1? ? ? ? ?11?21?2?31? ? ? ? 1?2?3 ? ? ? (n?1)是收敛的. 解 因为 limun?11?2?3 ? ? ? (n?1)? lim? lim1?0?1,

n??unn??1?2?3 ? ? ? nn??n根据比值审敛法可知所给级数收敛.

1?2?3? ? ? ? ?n !? ? ? ? 的收敛性.

例6 判别级数1?1?2?23n10101010 解 因为 limun?1(n?1)!n? limn?1?10? limn?1??,

n !n??10n??unn??10根据比值审敛法可知所给级数发散.

1 例7 判别级数?的收敛性.

(2n?1)?2nn??? 解 limun?1(2n?1)?2n? lim?1.

n??unn??(2n?1)?(2n?2)这时r=1, 比值审敛法失效, 必须用其它方法来判别级数的收敛性.

?11 因为?2, 而级数?12收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数(2n?1)?2nnn?1n收敛.

?11?2, 而级数?12收敛, 因此由比较审敛法可知所给级 解 因为

(2n?1)?2nnn?1n数收敛.

第 16 页

提示: limun?1(2n?1)?2n? lim?1, 比值审敛法失效.

n??unn??(2n?1)?(2n?2)1 因为?12, 而级数(2n?1)?2nn?n2收敛, 因此由比较审敛法可知所给级n?1?1数收敛.

定理5(根值审敛法, 柯西判别法)

设?un是正项级数, 如果它的一般项un的n次根的极限等于r:

n?1? limnun??,

n??则当r<1时级数收敛; 当r>1(或limnun???)时级数发散; 当r=1时级数可能

n??收敛也可能发散.

定理5(根值审敛法, 柯西判别法)

若正项级数?un满足limnun??, 则当r<1时级数收敛;

n?1?n??当r>1(或limnun???)时级数发散. 当r=1时级数可能收敛也可能发散.

n?? 定理5(根值审敛法, 柯西判别法) 设?un为正项级数, 如果

n?1? limnun??,

n??则当r<1时级数收敛; 当r>1(或limnun???)时级数发散; 当r=1时级数可能

n??收敛也可能发散.

第 17 页

1? ? ? ? ?1? ? ? ? 是收敛的.

例8 证明级数1?1?23n23n并估计以级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差. 解 因为 limnun? limn1n? lim1?0,

n??n??nn??n所以根据根值审敛法可知所给级数收敛.

以这级数的部分和sn 近似代替和s所产生的误差为

111??? ? ? ?

(n?1)n?1(n?2)n?2(n?3)n?3 ?1n?1?1n?2?1n?3? ? ? ? +

(n?1)(n?1)(n?1) |rn|? ?1. n(n?1)n?2?(?1)n 例6判定级数?的收敛性n2n?1

解 因为

limnun?lim1n2?(?1)n?1n??n??22

所以 根据根值审敛法知所给级数收敛

定理6(极限审敛法) 设?un为正项级数

n?1?

n?? (1)如果limnun?l?0(或limnun???)n?? 则级数?un发散

n?1?

(2)如果p1

而limnpun?l (0?l???)n??? 则级数?un收敛

n?1? 例7 判定级数?ln(1?12)的收敛性

n?1n

第 18 页

解 因为ln(1?12)~12(n??)nnn??n?? 故

n?? limn2un?limn2ln(1?12)?limn2?12?1nn

根据极限审敛法 知所给级数收敛

?

例8 判定级数?n?1(1?cos?)的收敛性

n?1n 解 因为 lim3n2unn???limn??3n2n?1(1?cos?)?limn2n?1?1(?)2?1?2nn??n2n2

根据极限审敛法 知所给级数收敛

二、交错级数及其审敛法

交错级数: 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的. 交错级数的一般形式为?(?1)n?1un, 其中un?0.

n?1?n?11? 例如, ?(?1)n?1 是交错级数, 但?(?1)n?11?cosn? 不是交错级数.

nnn?1? 定理6（莱布尼茨定理）

如果交错级数?(?1)n?1un满足条件:

n?1? (1)unun+1 (n=1, 2, 3, ); (2)limun?0,

n??则级数收敛, 且其和su1, 其余项rn的绝对值|rn| 定理6（莱布尼茨定理）

第 19 页

un+1.

如果交错级数?(?1)n?1un满足: (1)un?un?1; (2)limun?0,

n?1n???则级数收敛, 且其和su1, 其余项rn的绝对值|rn| 简要证明: 设前n项部分和为sn. 由s2n=(u1-u2)+(u3-u4)+

un+1.

+(u2n 1-u2n), 及

+(u2n-2-u2n-1)-u2n

s2n=u1-(u2-u3)+(u4-u5)+

看出数列{s2n}单调增加且有界(s2n

而级数是收敛的, 且sn

? 也是收敛的交错级数, 所以|rn|un+1.

例9 证明级数?(?1)n?11 收敛, 并估计和及余项.

n?1n 证 这是一个交错级数. 因为此级数满足 (1)un?1?1?un?1(n=1, 2,

nn?1

), (2)limun?lim1?0,

n??n??n由莱布尼茨定理, 级数是收敛的, 且其和s

n?1 三、绝对收敛与条件收敛: 绝对收敛与条件收敛:

若级数?|un|收敛, 则称级数?un绝对收敛; 若级数?un

n?1n?1n?1???第 20 页