线性代数应用案例

行列式的应用

案例1 大学生在饮食方面存在很多问题，多数大学生不重视吃早餐，日常饮食也没有规

律，为了身体的健康就需要注意日常饮食中的营养。大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养（它们的质量以适当的单位计量）。 营养 蛋白质 脂肪 碳水化合物 单位食物所含的营养 食物1 36 0 52 食物2 51 7 34 食物3 13 1.1 74 所需营养 33 3 45 试根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入的上述三种食物的量。

解：设x1,x2,x3分别为三种食物的摄入量，则由表中的数据可以列出下列方程组

?36x1?51x2?13x3?33?7x2?1.1x3?3 ??52x?34x?74x?4523?1利用matlab可以求得

x =

0.27722318361443 0.39192086163701 0.23323088049177

案例2 一个土建师、一个电气师、一个机械师组成一个技术服务社。假设在一段时间内，

每个人收入1元人民币需要支付给其他两人的服务费用以及每个人的实际收入如下表所示，问这段时间内，每人的总收入是多少？（总收入=实际收入+支付服务费）

服务者 土建师 电气师 机械师 被服务者 土建师 0 0.1 0.3 电气师 0.2 0 0.4 机械师 0.3 0.4 0 实际收入 500 700 600 解：设土建师、电气师、机械师的总收入分别是x1,x2,x3元，根据题意，建立方程

组

?x1?0.2x2?0.3x3?500??x2?0.1x1?0.4x3?700 ?x?0.3x?0.4x?60012?3利用matlab可以求得

x =

1.0e+003 *

1.25648414985591 1.44812680115274 1.55619596541787

案例3

医院营养师为病人配制的一份菜肴由蔬菜、鱼和肉松组成，这份菜肴需含1200cal

热量，30g蛋白质和300mg维生素c，已知三种食物每100g中的有关营养的含量如下表，

试求所配菜肴中每种食物的数量。 热量/cal 蛋白质/g 维生素c/mg

解：设所配菜肴中蔬菜、鱼和肉松的数量分别为x1,x2,x3百克，根据题意，建立方程组

蔬菜 60 3 90 鱼 300 9 60 肉松 600 6 30 ?60x1?300x2?600x3?1200?3x1?9x2?6x3?30 ??90x?60x?30x?300123?利用matlab可以求得

x =

1.52173913043478 2.39130434782609 0.65217391304348

矩阵的应用

案例1 矩阵概念的引入 （1）线性方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 ??????an1x1?an2x2???annxn?bn的系数aij(i,j?1,2,?,n),bj(j?1,2,?,n)按原来的位置构成一数表

?a11a12?a?21a22?????an1an2?a1n?a2n???annb1?b2?? ???bn?该数表决定着上述方程组是否有解，以及如果有解，解是什么等问题，因而研究这个数表就很重要。

（2）某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线，下图所示表述了四城市间的航

班图，若从A到B有航班，则用带箭头的线连接A和B。 B A C

D

为了便于研究，表中√为1，空白为0，得到下列数表：

列表表示到站 A B C D

A 0 1 1 0 √ √ 行 标 1 0 1 1 √ √ √ 表B 示 √ √ √ 1 1 0 1 发C 站 0 1 0 0 √ D

(3)某中学学生身高体重的测量，得到如下一份统计如下表

体重（kg） 人数 身高（m） 1.5 1.6 1.7 1.8 40 60 30 10 0 50 80 120 15 2 60 70 150 80 5 70 20 90 150 10

此表反映身高与体重这种关系时也可将上面表格写成一个简化的4行4列的矩形数表，

40（kg） 50（kg） 60（kg） 70（kg） 1.5 1.6 1.7 1.8 60 30 10 0 80 120 15 2 70 150 80 5 20 90 150 10 如果只反映1.5米与体重的关系，则可以用（60 80 70 20）；如果只反映60kg与身高的

?70???150?。 关系，则可以用??80???5??案例5 矩阵概念的应用——逻辑判断问题

甲、乙、丙、丁四人各从图书馆借来一本小说，他们约定读完后互相交换，这四本书的

厚度以及他们四人的阅读速度差不多，因此，四人总是同时交换书，经三次交换后，他们四人读完了这四本书，现已知：

（1）乙读的最后一本书是甲读的第二本书；

（2）丙读的第一本书是丁读的最后一本书。 问四人的阅读顺序是怎样的？

解：设甲、乙、丙、丁最后读的书的代号依次为

初始矩阵

1 2 3 4

甲 乙 丙 丁

A,B,C,D,则根据题设条件可以列出

D????B?? ????ABCD??下面我们来分析矩阵中各位置的书名代号。已知每个人都读完了所有的书，所以并第二

次读的书不可能是C,D。又甲第二次读的书是B，所以丙第二次读的书也不可能是B，从而丙第二次读的书是A，同理可依次推出丙第三次读的书是B，丁第二次读的书是C，丁第三次读的书是A，丁第一次读的书是B，乙第二次读的书是D，甲第一次读的书是C，乙第一次读的书是A，乙第三次读的书是C，甲第三次读的书是D。故四人阅读的顺序可用矩阵表示如下：

?CAD??BDA?DCB??ABC

B??C? A??D?