案例6 矩阵乘法的应用
某企业某年出口到三个国家的两种货物的数量及两种货物的单位价格、重量、体积如下表所示：
数 货 量 国 家 美国 德国 日本 A1 A2 3000 1400 1500 1300 2000 800 单位价格（万元） 单位重量（吨） 单位体积（m） 3A1 A2 0.5 0.4 0.04 0.06 0.2 0.4 利用矩阵乘法计算该企业出口到三个国家的货物总价值、总重量、总体积各为多少？
解：设矩阵
?3000? A??1500?2000?则矩阵
14?00?0.5?13?00B,???0.480?0?0.04?0.2?
0.06?0.4总价值 总重量 总体积
?2060 204 1160?美国
??C?AB=?1270 138 820? 德国
?1320 128 720?日本 ??
案例7 逆矩阵的应用
一个城市有三个重要的企业：一个煤矿，一个发电厂和一条地方铁路。开采一块钱的煤，煤矿必须支付0.25元的运输费。而生产一块钱的电力，发电厂需支付煤矿0.65元的燃料费，自己亦需支付0.05元的电费来驱动辅助设备及支付0.05元的运输费。而提供一块钱的运输费铁路需支付煤矿0.55元的燃料费，0.10元的电费驱动它的辅助设备。某个星期内，煤矿从外面接到50000元煤的订货，发电厂从外面接到25000元电力的订货，外界对地方铁路没有要求。问这三个企业在那一个星期的生产总值各为多少时才能精确地满足它们本身的要求和外界的要求？
解：各企业产出一元钱的产品所需费用为
产 品 企 业 费 用 0 0 0.25 0.65 0.05 0.05 0.55 0.10 0 煤矿 发电厂 铁路 燃料费（元） 电力费（元） 运输费（元）
对于一个星期的周期，设x1表示煤矿的总产值，x2表示电厂的总产值，x3表示铁路的总产值。
煤矿的总消耗为 0x1?0.65x2?0.55x3 电厂的总消耗为 0x1?0.05x2?0.10x3 铁路的总消耗为 0.25x1?0.05x2?0x3 则
x1?(0x1?0.6x52?0.x535?) 00005x2?(0x1?0.05x2?0.10x3)?25000 x3?(0.25x1?0.05x2?0x3)?0
联立三个方程并整理得方程组
?x1?0.65x2?0.55x3?50000?0.95x2?0.10x3?25000 ???0.25x?0.05x?x?0123?上述方程组可化为 AX?b ，其中
?0.65?0.55??1?x1??50000???????0.95?0.10?， X??x2?,b??25000? A??0??0.25?0.05?x??0?1????3???
利用matlab求解，可知 det(A)?0.798125?0，所以方程组有唯一解，其解为
?x1??80423?????X??x2??A?1b??28583?
?x??21535??3???所以煤矿总产值为80423元，发电厂总产值为28583元，铁路总产值为21535元。
案例8 求解线性方程组
（1）假设你是一个建筑师，某小区要建设一栋公寓，现在有一个模块构造计划方
案需要你来设计，根据基本建筑面积每个楼层可以有三种设置户型的方案，如下表所示。如果要设计出含有136套一居室，74套两居室，66套三居室，是否可行？设计方案是否唯一？
方案 A B C 一居室（套） 8 8 9 两居室（套） 7 4 3 三居室（套） 3 4 5 解：设公寓的每层采用同一种方案，有x1层采用方案A，有x2层采用方案B，有x3层采用方案C，根据题意，可得
?8x1?8x2?9x3?136??7x1?4x2?3x3?74 ?3x?4x?5x?6623?1利用matlab计算方程组的系数矩阵A、增广矩阵?A?(Ab)的秩：
r(A)?r(?A)?2?3，
所以方程组有无穷多个解。
利用matlab将增广矩阵化为行简化阶梯型矩阵：
1??10?2??2??13?A?(Ab)??0115?
??8??0000??????
1?x?2?x31??2矩阵对应的方程组为?，
?x?15?3x23?8?取x3?c(c为正整数），则方程组的全部解为
1?x?2?c?12?13?x?15?c ?28??x3?c??又由题意可知，x1,x2,x3都为正整数，则方程组有唯一解x1?6,x2?2,x3?8。 所以设计方案可行且唯一，设计方案为：6层采用方案A，2层采用方案B，8层采用方案C。
（2） 在一个原始部落中，农田耕作记为F，农具及工具的制作记为M，织物的
编织记为C。人们之间的贸易是实物交易系统（见下图）。由图中可以看出，农夫将每年的收获留下一半，分别拿出四分之一给工匠和织布者；工匠平均分配他们制作的用具给每个组。织布者则留下四份之一的衣物为自己，四分之一给工匠，二分之一给农夫。
随着社会的发展，实物交易形式需要改为货币交易。假设没有资本和负债，那么如何对每类产品定价才能公正地体现原有的实物交易系统？
F 1 2
1 1
321 1 44
1
13M 3C 1 4
1 4也可以用下表表示： 组名 F M C
F M C 1 21 31 21 41 31 41 41 31 4
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