解析： (1)∵ax＋bx＋1＝0有解．
∴当a＝0时，bx＋1＝0有解，只有b≠0时， 1
方程有解x＝－. 2
b当a≠0时，方程为一元二次方程，有解的条件为 Δ＝b－4a≥0.
综上，当a＝0，b≠0或a≠0，b－4a≥0时，方程ax＋bx＋1＝0有解． (2)∵命题当x1 2 2 2 aax1x2 aax1x2 ax2－x1 ≤0. x1x2 ∵x1 ∴x2－x1>0，x1x2>0， ∴a≤0. 3 第1章 1.2 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析： |x|＝|y|?x＝y或x＝－y，但x＝y?|x|＝|y|. 故|x|＝|y|是x＝y的必要不充分条件． 答案： B π 2．“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的( ) 4A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ππ 解析： 当x＝2kπ＋时，tan x＝1，而tan x＝1得x＝kπ＋， 44π 所以“x＝2kπ＋”是“tan x＝1”成立的充分不必要条件．故选A. 4答案： A 3．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x＋y≥4”的( ) A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 解析： ∵x≥2且y≥2， ∴x＋y≥4， ∴x≥2且y≥2是x＋y≥4的充分条件； 而x＋y≥4不一定得出x≥2且y≥2，例如当x≤－2且y≤－2时，x＋y≥4亦成立，故x≥2且y≥2不是x＋y≥4的必要条件． 答案： A 4．设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D是A的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析： 由题意得： 4 故D是A的必要不充分条件 答案： B 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．下列命题中是假命题的是________．(填序号) (1)x>2且y>3是x＋y>5的充要条件 (2)A∩B≠?是AB的充分条件 (3)b－4ac<0是ax＋bx＋c<0的解集为R的充要条件 (4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形 解析： (1)因x>2且y>3?x＋y>5， 2 2 x＋y>5?/ x>2且y>3， 故x>2且y>3是x＋y>5的充分不必要条件． (2)因A∩B≠??/ AB, AB?A∩B≠?. 故A∩B≠?是AB的必要不充分条件． (3)因b－4ac<0?/ ax＋bx＋c<0的解集为R， 2 2 ax2＋bx＋c<0的解集为R?a<0且b2－4ac<0， 故b－4ac<0是ax＋bx＋c<0的解集为R的既不必要也不充分条件． (4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形． 答案： (1)(2)(3) 6．设集合A＝?x| ? 2 2 <0?，B＝{x|0 ?x－1? x? ??x??＝{x|0 ?x－1? m∈A?m∈B，m∈B?/ m∈A. ∴“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件． 答案： 充分不必要 三、解答题(每小题10分，共20分) 1 7．已知p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，若p的必要不充分条件是q，求实数a的取值范 2围． 解析： q是p的必要不充分条件， 则p?q但q?/p. 1 ∵p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1. 211 ∴a＋1≥1且a≤，即0≤a≤. 22 5 ?1?∴满足条件的a的取值范围为?0，?. ?2? 42 8．求证：0≤a<是不等式ax－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件． 54 证明： 充分性：∵0 5 ∴Δ＝a－4a(1－a)＝5a－4a＝a(5a－4)<0， 则ax－ax＋1－a>0对一切实数x都成立． 而当a＝0时，不等式ax－ax＋1－a>0可变成1>0. 显然当a＝0时，不等式ax－ax＋1－a>0对一切实数x都成立． 必要性：∵ax－ax＋1－a>0对一切实数x都成立， ??a>0， ∴a＝0或?2 ??Δ＝a－4a2 22 2 2 2 －a 4 解得0≤a<. 5 42 故0≤a＜是不等式ax－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件． 5 尖子生题库☆☆☆ 9．(10分)已知条件p：A＝{x|2a≤x≤a＋1}，条件q：B＝{x|x－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0}．若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 解析： 先化简B，B＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]≤0}， 1 ①当a≥时，B＝{x|2≤x≤3a＋1}； 31 ②当a＜时，B＝{x|3a＋1≤x≤2}． 3因为p是q的充分条件， 1a≥??3 所以A?B，从而有?a＋1≤3a＋1 ??2a≥2 2 2 2 ， 解得1≤a≤3. 6 1a＜??3或?a＋1≤2??2a≥3a＋1 2 ，解得a＝－1. 综上，所求a的取值范围是{a|1≤a≤3或a＝－1}． 7
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