C．p2，p3 D．p2，p4
?1?x?1?x解析： 对于命题p1，当x∈(0，＋∞)时，总有??>??成立．
?2??3?
所以p1是假命题，排除A、B；
?1?x对于命题p3，在平面直角坐标系中作出函数y＝??与函数
?2?
y＝logx的图象，可知在(0，＋∞)上，函数y＝??x的图象并不是始终在函数y＝log
2x图象的上方，所以p3是假命题，排除C.故选D.
答案： D
4．若命题p：?x∈R，ax＋4x＋a≥－2x＋1是真命题，则实数a的取值范围是( ) A．a≤－3或a>2 C．a>－2
2
2
2
2
12
?1???
12
B．a≥2 D．－2 解析： 依题意：ax＋4x＋a≥－2x＋1恒成立， 即(a＋2)x＋4x＋a－1≥0恒成立， ??a＋2>0， 所以有：? ?a＋?16－ 2 a－ ??a>－2， ??2 ??a＋a－6≥0 ?a≥2. 答案： B 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“?”或“?”可表述为________． 答案： ?x0<0，使(1＋x0)(1－9x0)>0 6．已知命题p：?x0∈R，tan x0＝3；命题q：?x∈R，x－x＋1>0，则命题“p且q”是________命题．(填“真”或“假”) π 解析： 当x0＝时，tan x0＝3， 3∴命题p为真命题； 2 x2－x＋1＝?x－?2＋>0恒成立， 2 ?? 1?? 34 ∴命题q为真命题， ∴“p且q”为真命题． 答案： 真 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假： (1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，a>0. (2)对任意实数x1，x2，若x1 13 x (3)?T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|. (4)?x0∈R，使x0＋1<0. 解析： (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题． (1)∵a>0(a>0且a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题． (2)存在x1＝0，x2＝π，x1 但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题． (3)y＝|sin x|是周期函数，π就是它的一个周期， ∴命题(3)是真命题． (4)对任意x0∈R，x0＋1>0. ∴命题(4)是假命题． 8．选择合适的量词(?、?)，加在p(x)的前面，使其成为一个真命题： (1)x>2； (2)x≥0； (3)x是偶数； (4)若x是无理数，则x是无理数； (5)a＋b＝c(这是含有三个变量的语句，则p(a，b，c)表示) 解析： (1)?x∈R，x>2. (2)?x∈R，x≥0；?x∈R，x≥0都是真命题． (3)?x∈Z，x是偶数． 42 (4)存在实数x，若x是无理数，则x是无理数．(如2) (5)?a，b，c∈R，有a＋b＝c. 尖子生题库☆☆☆ 9．(10分)若?x∈R，函数f(x)＝mx＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围． 解析： (1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R； (2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立， 即4m＋4am＋1≥0恒成立． 又4m＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)－16≤0，解得－1≤a≤1. 综上所述，当m＝0时，a∈R； 当m≠0，a∈[－1,1]． 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 x14 第1章 1.4.3 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．命题：对任意x∈R，x－x＋1≤0的否定是( ) A．不存在x0∈R，x0－x0＋1≤0 C．存在x0∈R，x0－x0＋1>0 3 23 2 3 2 B．存在x0∈R，x0－x0＋1≥0 D．对任意x∈R，x－x＋1>0 3 2 3 2 32 解析： 由全称命题的否定可知，命题的否定为“存在x0∈R，x0－x0＋1>0”．故选C. 答案： C 2．命题p：?m0∈R，使方程x＋m0x＋1＝0有实数根，则“綈p”形式的命题是( ) A．?m0∈R，使得方程x＋m0x＋1＝0无实根 B．对?m∈R，方程x＋mx＋1＝0无实根 C．对?m∈R，方程x＋mx＋1＝0有实根 D．至多有一个实数m，使得方程x＋mx＋1＝0有实根 解析： 由特称命题的否定可知，命题的否定为“对?m∈R，方程x＋mx＋1＝0无实根”．故选B. 答案： B 3．“?x0?M，p(x0)”的否定是( ) A．?x∈M，綈p(x) C．?x?M，綈p(x) 答案： C B．?x?M，p(x) D．?x∈M，p(x) 2 2 2 22 2 2 4．已知命题p：?x∈R，使tan x＝1，命题q：x－3x＋2<0的解集是{x|1 A．②③ C．①③④ B．①②④ D．①②③④ π 解析： 当x＝时，tan x＝1，∴命题p为真命题． 4由x－3x＋2<0得1 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．命题p：?x∈R，x＋2x＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定命题綈p：________，它是________命题(填“真”或“假”)． 15 2 2 解析： ∵x＋2x＋5＝(x＋1)＋4≥0恒成立，所以命题p是假命题． 答案： 特称命题 假 ?x∈R，x＋2x＋5≥0 真 6．(1)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________． (2)命题“存在x∈R，使得x＋2x＋5＝0”的否定是________． 答案： (1)?x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3 (2)?x∈R，x＋2x＋5≠0 三、解答题(每小题10分) 7．写出下列命题的否定并判断其真假． (1)所有正方形都是矩形； (2)?α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β； (3)?θ0∈R，函数y＝sin(2x＋θ0)为偶函数； (4)正数的对数都是正数． 解析： (1)命题的否定：有的正方形不是矩形，假命题． (2)命题的否定：?α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，真命题． (3)命题的否定：?θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)不是偶函数，假命题． (4)命题的否定：存在一个正数，它的对数不是正数，真命题． 8．已知函数f(x)＝x－2x＋5. (1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由． (2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成立，求实数m的取值范围． 解析： (1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)， 即m＞－x＋2x－5＝－(x－1)－4. 要使m＞－(x－1)－4对于任意x∈R恒成立， 只需m＞－4即可． 故存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时只需m＞－4. (2)若m－f(x0)>0， ∴m>f(x0)． ∵f(x0)＝x0－2x0＋5＝(x0－1)＋4≥4. ∴m>4. 尖子生题库☆☆☆ 9．(10分)写出下列各命题的否命题和命题的否定，并判断真假． (1)?a，b∈R，若a＝b，则a＝ab； (2)若a·c＝b·c，则a＝b； (3)若b＝ac，则a，b，c是等比数列． 16 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 解析： (1)否命题：?a，b∈R，若a≠b，则a≠ab，假； 命题的否定：?a，b∈R，若a＝b，则a≠ab，假； (2)否命题：若a·c≠b·c，则a≠b.真； 命题的否定：?a，b，c，若a·c＝b·c，则a≠b，真； (3)否命题：若b≠ac，则a，b，c不是等比数列，真． 命题的否定：?a，b，c∈R，若b＝ac，则a，b，c不是等比数列，真． 2 2 2 2 17
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