P{?Xk?120}?P{k?1k?1100?X100k?150?10120?150}??(?3)?0.0013 104．某种难度很大的心脏手术成功率为0.9，对100个病人进行这种手术，以X记手术成功的人数，求P{84?X?95}． 解 由于X~b(100,0.9)，故
84?90X?9095?905P{84?X?95}?P{??}??()??(?2)?0.9297
33335．为了确定事件A发生的概率p(0?p?1)，进行10000次重复独立试验，试分别用切比雪夫不等式和中心极限定理估计：用事件A在10000次试验中发生的频率作为概率
p的近似值，误差小于0.01的概率．
解 以?n表示n次试验中A发生的次数，则E?n?np,D?n?np(1?p)， 用切比雪夫不等式：
P{|?nn?p|?0.01}?P{|?n?E?n|?0.01n}?1?D?n2?1?p?p?0.75。 220.01n用中心极限定理：
P{|??(?nn?p|?0.01}?P{???E?n0.01n0.01n?n?}
np(1?p)np(1?p)np(1?p)111)??(?)?2?()?1?2?(2)?1?0.9544
p(1?p)p(1?p)p(1?p)6．某单位设置一台电话总机，共有200个分机，设每个分机有5%的时间要使用外线通话，各个分机使用外线与否是相互独立的，该单位需要多少外线才能保证每个分机要用外线时可供使用的概率不小于0.9?
解 设X为同一时刻使用外线通话的分机数，则X~B(200,0.05)。n为需要的外线数，依题意，要确定n，使得P{X?n}?0.9，而
P{X?n}?P{X?200?0.05n?200?0.05n?10?}??()?0.9??(1.28)200?0.05?0.95200?0.05?0.959.5，
故n?10?1.28，即n?10?1.289.5?13.9452，取n?14． 9.5故该单位需要14根外线才能保证每个分机要用外线时可供使用的概率达到0.9
概率论与数理统计练习题（8）
9
样本及其分布
姓名 学号 班级
3．设总体X~N(60,152)，从总体中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率． 解 由于X??~N(0,1)，故
?/nP{|X??|?3}?P{|X??3|?}?2(1??(2))?0.0456
?/n?/n24．设X1,X2,?,Xn为总体N(?,?2)的一个样本，S为其样本方差，且
P{S22?2?1.5}?1??。若样本容量n满足??(n?1)?38.9，求n的最小值．
解 由于P{S2?2?1.5}?1?? ，故P{(n?1)S2?2?1.5(n?1)}??，
22从而??(n?1)?1.5(n?1)，而??(n?1)?38.9，所以1.5(n?1)?38.9，
即n?26.93，取n?27．
25．设X1,X2,?,X9为总体N(?,?)的一个样本，令Y1?1(X1?X2???X6)， 612(Y1?Y2)192Y2?(X7?X8?X9)，S??(Xi?Y2)2，Z?，证明：Z~t(2)．
3S2i?7 证 因为Y1~N(?,?26),Y2~N(?,?23) ，所以Y1?Y2~N(0,1)，
?/2Y1?Y22S22S2Y1?Y22(Y1?Y2)2而2~?(2)，且与2独立，于是Z???/2~t(2) ?S?/2?2S2/22?概率论与数理统计练习题（9）
点估计、评价估计量的标准
姓名 学号 班级
3．计算题
（1）设总体X具有分布律
10
X P 1 2 3 ?2 2?(1??) (1??)2 其中?（0
?1?EX?1??2?2?2?(1??)?3(1??)2?3?2?，
143?X，而x?(1?2?1)?，
332??令3?2??X，解之得?的矩估计量 ???由此得?的矩估计值 ?
5． 6?2e?2(x??)x??（2）设某种元件的使用寿命X的概率密度为f(x,?)??，其中
?0x????0为未知参数．又x1,x2,?xn是X的一组样本观测值，求参数?的极大似然估计值．
解 因为L(x1,x2,?,xn;?)??2ei?1n?2(xi??)?2en?2(?xi?n?)i?1n,xi??,i?1,2,?,n，
所以lnL(?)?nln2?2(?xi?n?)，从而
i?1ndlnL(?)?2n?0， d?于是，?越大似然函数越大，但??min{x1,x2,?,xn}，
??min{x,x,?,x}． 因此?的极大似然估计值为?12n
（3）设总体X～N???,??，X,X,X2123为总体的一个样本，试证明：
??131115111?1?X1?X2?X3，?2?X1?X2?X3，?3?X1?X2?X3都是
51023412362?的无偏估计量，并分析哪一个最好
?1?(? 5．证 因为E?131191382?1?(??)???,D??)?2??，
510225100410011511252502?2?(??)???,D??2?(??E?)???，
3412916144144
11
11111114?3?(??)???,D??3?(??)?2??2， E?362936436?2最好． ?1,??2,??3都是?的无偏估计量，且D??2?D??1?D??3，从而?所以? ．
1n（4）证明在样本的一切线性组合中，X??Xi是总体期望值?的无偏估计中有效
ni?1的估计量． 证 设Y?nnn?kXii?1i是?的无偏估计，则EY?E(?kX)???kiii?1i?1i??，故
?ki?1ni?1，
2即kn?1?(k1?k2???kn?1)．设总体方差为?，则DY?D(?kX)???k2iii?1i?1nn2i，
??DY??k?2k1?2(1?(k1?k2???kn?1))?0,1???DY?2k2?2(1?(k1?k2???kn?1))?0,? 解之得k1?k2?k3???kn， ??k2?????????????????,???DY??k?2kn?1?2(1?(k1?k2???kn?1))?0,?n?111n所以当k1?k2?k3???kn?时，DY取得极小值，即X??Xi是?的此种类
nni?1型的无偏估计中有效的估计量．
概率论与数理统计练习题（10） 区间估计、假设检验
姓名 学号 班级
3．计算题
（1）岩石密度的测量结果X~N(??,2，)现抽取12个样品，测得
?xi?112i． ?32.1,?xi2?89.92．当?未知时，求方差?2的置信区间（??0.1）
i?112（2）若总体X~N(?1,?12)与Y~N(?2,?22)相互独立，已知样本数据
12
n1?80,x?200,s1?80；n2?100,y?100,s2?100．求取??0.01时，?1??2的
置信区间．
（3）设某次考试学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩X为66.5分，标准差s为15分．问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程．
（4）某项考试要求成绩的标准差为12，现从考试成绩中任意抽取15份，计算样本标准差为16，设成绩服从正态分布，问此次考试的标准差是否不合要求(??0.05)？
______ 13
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