高一数学必修3知识点总结及典型例题解析

概率部分

1、 事件：随机事件、确定性事件、必然事件和不可能事件 2、 随机事件的概率（统计定义）：一般的，如果随机事件

A在n次实验中发

P A —

n

了m次，当实验的次数n很大时，我们称事件A发生的概率为

说明：①一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进 行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一

② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况

③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它 具有一

定的稳定性，总在某个常数附近摆动， 且随着试验次数的不断增多，这个 摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率

④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的 趋势，

而频率是具体的统计的结果

⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值

，而频率的稳定性

3、 概率必须满足三个基本要求：

对任意的一个随机事件A，有° P A 1

用和分别表示必然事件和不可能事件，则有P

如果事件A和B互斥,则有:P A B P A P B

1,P °

4、古典概率

① 所有基本事件有限个 ②

每个基本事件发生的可能性都相等

满足这两个条件的概率模型成为

古典概型

如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个

n

,则每一个基本事件发生

1

的概率都是n，如果某个事件A包含了其中的m个等可能的基本事件，则事件A

发生的概率为

5、几何概型

般地，一个几何区域D中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的

一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为

d的侧度 D的侧度

（这里要求D的侧度不为0,其中侧度的意义由D确定,

一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积； 立体 图像的侧度为其体积）

几何概型的基本特点

① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多

说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含

边界，在区域D内随机地取点，指的是该点落在区域 D内任何一处都是等可能 的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。

6、 互斥事件：不能同时发生的两个事件称为互斥事件 7、 对立事件

两个互斥事件中必有一个发生，则称两个事件为对立事件 ，事件A的对立 事 件 记

为： A 独 立 事 件 的 概 率： 若A , B为相互独立的事件事件 ，则P AB P A P B

若A , A2,…，An为两两独立的事件，则P A!A2...An

P人！ P A?…P An

说明：① 若A，B为互斥事件，则A，B中最多有一个发生,可能都不发 生，但不可能同时发生，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合

的交集是空集

② 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可 能指的

很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生对立事件一定是互斥事件 从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个 对立事件的并集是全集，而两个互斥事件的并集不一定是全集

⑤ 两个对立事件的概率之和一定是1,而两个互斥事件的概率之和小于 或者等于1 ⑥ 若事件A，B是互斥事件，则有P A B PA P B ⑦

1

2

n

一般地，如果

2

n

Al,A2,…,An 两两互斥，则有

P A A ... A P A P A ... P A

⑨在本教材中

A, A2 ... A 指的是 A1,A2,..., An

n

中至少发生一个

例1.在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意选取3个, 求至少有1个是红球的概率？

解法1:（互斥事件）设事件 A为“选取3个球至少有1个是红球”，则 其互斥事件为A，意义为“选取3个球都是白球”

4 3 (6 5

4 6

PA 1 -PA 1-1

5

- 5

20

解法2:（古典概型）由题意知，所有的基本事件有

种情

况，设事件 A为“选取3个球至少有1个是红球”

2 C2

事件数有

1 4

2

16 2

，所以

P A

,而事件A所含有的基本 16 20

4 5

解法3：（独立事件概率）

设事件A为“选取3个球至少有1个是红球

则事件A的情况如下：

:红白白

2 4 6 5 3 1 4 5

1

f

1 红2白

4 3 2

白白红

L

6 5

4

L 5

白红白

4 2 3 1 6 5 4 5 2 1 4 1

红红白

6 5 4 15

<

2红1 白《

红白红

2 4 1 1 6 5 4 15

1.

白红红

丄 4 2 1

6 5 4 15

所以

1 1 4

P A 3 -3 —

5 15 5

例2. 盒中有 6只灯泡，其中2只次品,

4只正品，有放回的从中任抽2次，每

次抽取1只，试求下列事件的概率: （1）第1次抽到的是次品

（2）抽到的2次中，正品、次品各一次

解：设事件A为“第1次抽到的是次品”， 品、次品各一次”

2 4 4 2

P B -----

9 （或者 6 6 6 6

4 9）

事件B为“抽到的2次中，正

例3.甲乙两人参加一次考试共有 3道选择题，3道填空题，每人抽一道题，抽 到后不放回，求（1）甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？ （ 到选择题的概率？

解：设事件A为“甲抽到选择题而乙抽到填空题”，事件B为 到选择题”，则B 为“两人都抽到填空题”

“至少 1人抽

2）求至少1人抽

(1) P B

(2)

3

— 或者10

P A

或者P B

P! P! 3 3 3 Pe2

F\10

P2 62

P