关于椭圆与双曲线对偶性质的重要结论 (1)共12页

点的弦，M为AB的中点，则kOM?kAB证明：设A(xA,yA),B(xB,yB)，则M(b2?2a.

xA?xByA?yB?)， 2222222222xA?xbxAyAxByByA?yB又2?2?2?2?2?2ababab，∴KOMKABb2?2 ax2y29．（1）若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则被abx0xy0yx02y02?2?2?2a2babP0所平分的中点弦的方程是

.

证明：设中点弦交椭圆一个定点为A(m,n)，则另一个为B(2x0?m,2y0?n)

①－②得：

22x0?x0my0?y0n ??a2b22y0?2ny0?nb2x0又kAB? ???2x0?2mx0?my0a2∴弦AB

22b2x0yy0xx0y0x0方程为y?y0??2(x?x0)?2?2?2?2

y0ababa证明二：由第9题得：kAB?kOP∴弦AB

0b2x0b2b2y0??2?kAB??2???2aax0ay0，

22b2x0yy0xx0y0x0方程为y?y0??2(x?x0)?2?2?2?2

y0ababax2y2（2）若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则被abP0所平分的

中点弦的方程是

x0xy0yx02y02?2?2?2a2bab. 证明：设中点弦交双曲线一个交点A(m,n)，则另一个B(2x0?m,2y0?n)

又K

2y0?2nb2x0弦??2x0?2my0a2，

22b2x0x0xy0yx0y0∴方程为y?y0?2(x?x0)?2?2?2?2

y0aababx2y210．（1）若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则过abx2y2x0xy0y??2?2a2b2abP0的弦中点的轨迹方程是

.

证明：设弦交椭圆于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)中点S(m,n).

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m2n2x0my0n∴?mb?mx0b?na?ny0a?2?2?2?2

abab222222x2y2x0xy0y即2?2?2?2abab.

x2y2（2）若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则过

abx2y2x0xy0y的轨迹方程是2?2?2?2.

ababP0的弦中点

证明：设弦与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2)，中点S(m,n)

x2y2x0xy0y即2?2?2?2 ababx2y211．（1）过椭圆2?2?1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜ab角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC（常数）.

证明：设两直线与椭圆交于点(x1,y1)　　(x2,y2).

由题意得①＝②

22?(y1y2?y0y2?y0y1?y0)a2?(x1x2?x2x0?x1x0?x0)b2　③?展开? 2222(yy?yy?yy?y)a?(xx?xx?xx?x)b　④?010201210200?12b2x0?2ay0③－④得：

y1?y2b2x0??KBC（定值） x1?x2a2y0x2y2（2）过双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾ab斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且

kBCb2x0??2ay0（常数）.

证明：设两直线与双曲线交于点(x1,y1),(x2,y2)，则

由题意得①＝－②

22?(y1y2?y0y2?y1y0?y0)a2?b2(x1x2?x0x2?x0x1?x0)?0?展开?2222??(y1y2?y0y1?y0y2?y0)a?b(x1x2?x0x1?x0x2?x0)?0③④

b2x0y1?y2??2?KBC（定值） ③－④?x1?x2ay0第 6 页