小初高教案试题导学案集锦
热点探究课(一) 导数应用中的高考热点问题
[命题解读] 函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有．
热点1 利用导数研究函数的单调性、极值与最值(答题模板)
函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围．
(本小题满分12分)(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
[思路点拨] (1)求出导数后对a分类讨论，然后判断单调性；(2)运用(1)的结论分析函数的最大值，对得到的不等式进行等价转化，通过构造函数并分析该函数的单调性求a的范围．
1
[规范解答] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.2分
x若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.3分
?1?若a>0，则当x∈?0，?时，f′(x)>0；
?
a?
?1?当x∈?，＋∞?时，f′(x)<0.5分
?a?
?1??1?所以f(x)在?0，?上单调递增，在?，＋∞?上单调递减.6分
?
a?
?a?
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；7分 1
当a>0时，f(x)在x＝取得最大值，最大值为
af??＝ln??＋a?1－?＝－ln a＋a－1.9分 ?a??a??a?
?1??1?
?
1??1?因此f??>2a－2等价于ln a＋a－1<0.10分
a??
令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0. 于是，当0
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因此，a的取值范围是(0,1).12分
[答题模板] 讨论含参函数f(x)的单调性的一般步骤 第一步：求函数f(x)的定义域(根据已知函数解析式确定)． 第二步：求函数f(x)的导数f′(x)．
第三步：根据f′(x)＝0的零点是否存在或零点的大小对参数分类讨论． 第四步：求解(令f′(x)>0或令f′(x)<0)． 第五步：下结论．
第六步：反思回顾，查看关键点、易错点、注意解题规范．
温馨提示：1.讨论函数的单调性，求函数的单调区间、极值问题，最终归结到判断f′(x)的符号问题上，而f′(x)＞0或f′(x)＜0，最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等式问题．
2．若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．
?2?32
[对点训练1] 已知函数f(x)＝x＋ax－x＋c，且a＝f′??.
?3?
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)设函数g(x)＝(f(x)－x)·e，若函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，求实数c的取值范围．
[解] (1)由f(x)＝x＋ax－x＋c， 得f′(x)＝3x＋2ax－1.1分
22?2??2?2
当x＝时，得a＝f′??＝3×??＋2a×－1，
33?3??3?解得a＝－1.3分
(2)由(1)可知f(x)＝x－x－x＋c，
3
2
2
3
23
x?1?2
则f′(x)＝3x－2x－1＝3?x＋?(x－1)，列表如下：
?3?
x f′(x) f(x) ?－∞，－1? ?3???＋ 1－ 30 极大值 ?－1，1? ?3???－ 1 0 极小值 (1，＋∞) ＋ 1??所以f(x)的单调递增区间是?－∞，－?和(1，＋∞)； 3??
??f(x)的单调递减区间是?－，1?.8分
3
?
?
(3)函数g(x)＝(f(x)－x)·e＝(－x－x＋c)·e， K12资源汇总，活到老学到老
3
1
x2x小初高教案试题导学案集锦
有g′(x)＝(－2x－1)e＋(－x－x＋c)e ＝(－x－3x＋c－1)e，
因为函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，
所以h(x)＝－x－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立， 只要h(2)≥0，解得c≥11，
所以c的取值范围是[11，＋∞).12分
热点2 利用导数研究函数的零点或曲线交点问题
研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，为此，我们可以通过讨论函数的单调性来解决，求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用，其主要考查方式有：(1)确定函数的零点、图象交点的个数；(2)由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围．
(2016·北京高考节选)设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)设a＝b＝4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围． [解] (1)由f(x)＝x＋ax＋bx＋c，得f′(x)＝3x＋2ax＋b.2分 因为f(0)＝c，f′(0)＝b，
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝bx＋c.4分 (2)当a＝b＝4时，f(x)＝x＋4x＋4x＋c， 所以f′(x)＝3x＋8x＋4.6分
22
令f′(x)＝0，得3x＋8x＋4＝0，解得x＝－2或x＝－.8分
3
2
3
2
3
2
2
2
2
x2xxf(x)与f′(x)在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：
x f′(x) f(x) (－∞，－2) ＋ －2 0 ?－2，－2? ??3??－ 2－ 30 ?－2，＋∞? ?3???＋ c c－ 32272?32??2?所以，当c＞0且c－＜0时，存在x1∈(－4，－2)，x2∈?－2，－?，x3∈?－，0?，3?27??3?使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.
?32?32
由f(x)的单调性知，当且仅当c∈?0，?时，函数f(x)＝x＋4x＋4x＋c有三个不同
?27?
零点.12分
[规律方法] 用导数研究函数的零点，常用两种方法：一是用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；二是将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解
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小初高教案试题导学案集锦 决．
[对点训练2] 设函数f(x)＝ln x＋，m∈R.
(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； (2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数．
3
【导学号：31222099】
e
[解] (1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋，
mxxx则f′(x)＝
x－e
，由f′(x)＝0，得x＝e.2分 x2∴当x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减； 当x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增， e
∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2，
e∴f(x)的极小值为2.4分
x1mx(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－2－(x＞0)，
3xx3
13
令g(x)＝0，得m＝－x＋x(x＞0).5分
313
设φ(x)＝－x＋x(x≥0)，
3
则φ′(x)＝－x＋1＝－(x－1)(x＋1)，
当x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴x＝1是φ(x)唯一的极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点， 2
∴φ(x)的最大值为φ(1)＝.8分
3
又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知
2
2
①当m＞时，函数g(x)无零点；
3
2
②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；
3
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