巩固
1．圆(x＋2)＋y＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )
2222
A．(x－2)＋y＝5 B．x＋(y－2)＝5
2222
C．(x＋2)＋(y＋2)＝5 D．x＋(y＋2)＝5 答案：A 2．已知⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则F＝E＝0且D＜0是⊙C与y轴相切于原点的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2
2
解析：选A.由题意可知，要求圆心坐标为(－，0)，而D可以大于0，故选A.
2
3.已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．π B．4π C．8π D．9π
222222
解析：选B.设P(x，y)，由题知有：(x＋2)＋y＝4[(x－1)＋y]，整理得x－4x＋y22
＝0，配方得(x－2)＋y＝4.可知圆的面积为4π，故选B.
4．(2020年高考广东卷)以点(2，－1)为圆心且与直线x＋y＝6相切的圆的方程是________．
|2－1－6|5
解析：将直线x＋y＝6化为x＋y－6＝0，圆的半径r＝＝，所以圆的方程
1＋12
2522
为(x－2)＋(y＋1)＝.
2
2522
答案：(x－2)＋(y＋1)＝
222
5．(原创题)已知圆x＋y＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．
22
解析：圆的方程变为(x＋1)＋(y－2)＝5－a， ∴其圆心为(－1,2)，且5－a＞0，即a＜5. 又圆关于直线y＝2x＋b成轴对称，
∴2＝－2＋b，∴b＝4.∴a－b＝a－4＜1. 答案：(－∞，1)
22
6．已知圆x＋y＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． 解：(1)设AP中点为M(x，y)，
由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
2222
∵P点在圆x＋y＝4上， ∴(2x－2)＋(2y)＝4.
22
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)＋y＝1. (2)设PQ的中点为N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|， 设O为坐标原点，则ON⊥PQ，
22222
所以|OP|＝|ON|＋|PN|＝|ON|＋|BN|，
2222
所以x＋y＋(x－1)＋(y－1)＝4.
22
故线段PQ中点的轨迹方程为x＋y－x－y－1＝0.
练习
1．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
2222
A．(x－3)＋(y＋1)＝4 B．(x＋3)＋(y－1)＝4
DC．(x－1)＋(y－1)＝4 D．(x＋1)＋(y＋1)＝4 解析：选C.设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r. ∵圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a.
22
由|CA|＝|CB|得
2222
(a－1)＋(b＋1)＝(a＋1)＋(b－1)，
2222
即(a－1)＋(2－a＋1)＝(a＋1)＋(2－a－1)，
22
解得a＝1，b＝1，∴r＝|CA|＝(1－1)＋(1＋1)＝2.
22
即所求圆的方程为(x－1)＋(y－1)＝4.
2222
2．若曲线x＋y＋ax＋(1－a)y－4＝0关于直线y－x＝0对称的曲线仍是其本身，则实数a为( )
12A．± B．±
22
1212C.或－ D．－或 2222
a2a2－1a2－1a22
解析：选B.由题意知，圆心C(－，)在直线y－x＝0上，∴＋＝0，∴a222212
＝，∴a＝±.故选B. 22
22
(注：F＝－4＜0，不需验D＋E－4F＞0)
22
3．(2020年高考上海卷)点P(4，－2)与圆x＋y＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )
2222
A．(x－2)＋(y＋1)＝1 B．(x－2)＋(y＋1)＝4
2222
C．(x＋4)＋(y－2)＝1 D．(x＋2)＋(y－1)＝1 解析：选A.设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，
2222
x＋4x＝??2，则?y－2
y＝??2，
112
2
??x1＝2x－4，
???y1＝2y＋2，
代入x＋y＝4得
22
(2x－4)＋(2y＋2)＝4，化简得(x－2)＋(y＋1)＝1.
4．(2020年高考辽宁卷)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )
2222
A．(x＋1)＋(y－1)＝2 B．(x－1)＋(y＋1)＝2
2222
C．(x－1)＋(y－1)＝2 D．(x＋1)＋(y＋1)＝2
|a＋a||a＋a－4|
解析：选B.由题意可设圆心坐标为(a，－a)，则＝，解得a＝1，故圆
22
|1＋1|22
心坐标为(1，－1)，半径r＝＝2，所以圆的方程为(x－1)＋(y＋1)＝2.
2
5．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
72222
A．(x－3)＋(y－)＝1 B．(x－2)＋(y－1)＝1
3
32222
C．(x－1)＋(y－3)＝1 D．(x－)＋(y－1)＝1
2
|b|＝1??
解析：选B.设圆心坐标为(a，b)，则?|4a－3b|
＝1?5?
22
，又b>0，故b＝1，由|4a－
122
3|＝5得a＝2或a＝－，又a>0，故a＝2，所求圆的标准方程是(x－2)＋(y－1)＝1.(采
2
用检验的方法也可以)
22
6．一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C：(x－2)＋(y－3)＝1上的最短路程是( )
A．4 B．5 C．32－1 D．26 解析：选A.圆C的圆心C的坐标为(2,3)，半径r＝1.点A(－1,1)关于x轴的对称点A′的坐标为(－1，－1)．因A′在反射线上，所以最短距离为|A′C|－r，即
22
[2－(－1)]＋[3－(－1)]－1＝4.
222
7．如果圆的方程为x＋y＋kx＋2y＋k＝0.那么当圆面积最大时，圆心为________．
k2322
解析：将方程配方，得(x＋)＋(y＋1)＝－k＋1.
24
322
∴r＝1－k>0，rmax＝1，此时k＝0.
4
∴圆心为(0，－1)． 答案：(0，－1)
8.圆心在原点且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程为________．
解析：如图，因为圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB＝120°.而圆心到直线3x＋4y15
＋15＝0的距离d＝22＝3，在△AOB中，可求得OA3＋4
22
＝6.所以所求圆的方程为x＋y＝36.
22
答案：x＋y＝36
9．一个等腰三角形底边上的高等于4，底边两端点的坐标是(－3,0)，(3,0)，则它的外接圆方程是________．
解析：底边端点关于原点对称， 所以底边的中垂线方程为x＝0，①
底边上的高等于4，说明第三个顶点的坐标为(0,4)或(0，－4)．
3333
一腰的中垂线方程为y－2＝(x－)或y＋2＝－(x－)，②
4242
77
方程①②联立得圆心坐标为(0，)或(0，－)，
88
72522
(0－3)＋(±－0)＝，
88726257262522
所求圆的方程为x＋(y＋)＝或x＋(y－)＝.
864864
726257262522
答案：x＋(y＋)＝或x＋(y－)＝
864864半径为
10．求与x轴相交于A(1,0)和B(5,0)两点且半径为5的圆的标准方程．
22
解：法一：设圆的标准方程为(x－a)＋(y－b)＝5. ∵点A，B在圆上，所以可得到方程组：
22
?(1－a)＋(0－b)＝5??，解得a＝3，b＝±1. 22?(5－a)＋(0－b)＝5?
2222
∴圆的标准方程是(x－3)＋(y－1)＝5或(x－3)＋(y＋1)＝5.
法二：由A、B两点在圆上可知线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识：这个圆的圆
22心在线段AB的垂直平分线x＝3上，于是可设圆心为C(3，b)，又|AC|＝5，即(3－1)＋b
＝5，解得b＝1或b＝－1.
2222
因此，所求圆的标准方程为(x－3)＋(y－1)＝5或(x－3)＋(y＋1)＝5. 11．圆C通过不同的三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1)，已知圆C在点P处的切线斜率为1，试求圆C的方程．
22
解：设圆C的方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，
2
则k、2为x＋Dx＋F＝0的两根， ∴k＋2＝－D,2k＝F， 即D＝－(k＋2)，F＝2k，
又圆过R(0,1)，故1＋E＋F＝0. ∴E＝－2k－1. 故所求圆的方程为
x2＋y2－(k＋2)x－(2k＋1)y＋2k＝0，
k＋22k＋1
圆心坐标为(，)．
22
∵圆C在点P处的切线斜率为1，
2k＋1
∴kCP＝－1＝，∴k＝－3.∴D＝1，E＝5，F＝－6.
2－k22
∴所求圆C的方程为x＋y＋x＋5y－6＝0.
2
12．已知以点C(t，)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、
tB，其中O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．
22
解：(1)证明：设圆的方程为x＋y＋Dx＋Ey＝0，
24
由于圆心C(t，)，∴D＝－2t，E＝－，
t令y＝0得x＝0或x＝－D＝2t，∴A(2t,0)，
44
令x＝0得y＝0或y＝－E＝，∴B(0，)，
ttt114
∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝·|2t|·||＝4(定值)．
22t(2)∵OM＝ON，
1
∴O在MN的垂直平分线上，而MN的垂直平分线过圆心C, ∴kOC＝，
2
2t1
∴＝，解得t＝2或t＝－2， t2
而当t＝－2时，直线与圆C不相交，∴t＝2， ∴D＝－4，E＝－2，
22
∴圆的方程为x＋y－4x－2y＝0.
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