课时跟踪检测 (十二) 函数模型及其应用
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大( )
A．8元/件 C．12元/件
B．10元/件 D．14元/件
解析：选B 设单价为6＋x，日均销售量为100－10x，则日利润y＝(6＋x－4)(100－10x)－20
＝－10x＋80x＋180
＝－10(x－4)＋340(0＜x＜10)． ∴当x＝4时，ymax＝340.
即单价为10元/件，利润最大，故选B.
2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
2
2
x y
0.50 －0.99 0.99 0.01 2.01 0.98 3.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是( ) A．y＝2x C．y＝2x－2
B．y＝x－1 D．y＝log2x
2
解析：选D 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.
3．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的图象如图所示．则杯子的形状是( )
解析：选A 从题图看出，在时间段[0，t1]，[t1，t2]内水面高度是匀速上升的，在[0，
t1]上升慢，在[t1，t2]上升快，故选A.
4．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价
1
付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
解析：设出租车行驶x km时，付费y元， 9，0＜x≤3，??
x－则y＝?8＋
??8＋2.15×5＋
＋1，3＜x≤8，
x－＋1，x＞8，
由y＝22.6，解得x＝9. 答案：9
5．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为________． 解析：设这个广场的长为x米， 40 000则宽为米．
x?40 000?≥800， 所以其周长为l＝2?x＋?
?
x?
当且仅当x＝200时取等号． 答案：800
二保高考，全练题型做到高考达标
1．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )
A．10元 C．30元
B．20元 D.40
元 3
解析：选A 依题意可设sA(t)＝20＋kt，sB(t)＝mt， 又sA(100)＝sB(100)， ∴100k＋20＝100m，
得k－m＝－0.2，于是sA(150)－sB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10， 即两种方式电话费相差10元．选A.
2．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应
2
定为每件( )
A．100元 C．150元
B．110元 D．190元
解析：选C 设售价提高x元，利润为y元，则依题意得y＝(1 000－5x)×(100＋x)－80×1 000＝－5x＋500x＋20 000＝－5(x－50)＋32 500，故当x＝50时，ymax＝32 500，此时售价为每件150元．
3．(2016·北京朝阳统一考试)设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)．公司决定从原有员工中分流x(0 A．15 C．17 B．16 D．18 * 2 2 解析：选B 由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t， ??0 则由? ?－x＋1.2x? * t≥100t， 50解得0 3 因为x∈N，所以x的最大值为16. 4．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0,10 0.007 5 * ≈1.017)( ) B．1.6% D．1.8% 40 A．1.5% C．1.7% 解析：选C 设每年人口平均增长率为x，则(1＋x)＝2，两边取以10为底的对数，则lg 20.007 5 40lg(1＋x)＝lg 2，所以lg(1＋x)＝≈0.007 5，所以10＝1＋x，得1＋x＝1.017， 40所以x＝1.7%. 5．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝ae.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有，则m的值 8为( ) A．7 C．9 15n解析：选D 根据题意知＝e， 2 ntaB．8 D．10 3 11ntnt令a＝ae，即＝e， 8815n115n因为＝e，故＝e， 28比较知t＝15，m＝15－5＝10. 6．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为 k，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6 元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小． 解析：设每小时的总费用为y元，则y＝kv＋96， 又当v＝10时，k×10＝6， 解得k＝0.06， 102 所以每小时的总费用y＝0.06v＋96，匀速行驶10海里所用的时间为小时，故总费用 2 2 v10109602 为W＝y＝(0.06v＋96)＝0.6v＋≥2 vvv9609600.6v×＝48，当且仅当0.6v＝， vv即v＝40时等号成立．故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时． 答案：40 7．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________． 20－xy－85 解析：依题意知：＝，即x＝(24－y)， 2024－84 55522 ∴阴影部分的面积S＝xy＝(24－y)·y＝(－y＋24y)＝－(y－12)＋180. 444∴当y＝12时，S有最大值为180. 答案：180 8．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元．销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为______(万元)． 解析：依题意得? ?alog48＋b＝1，? ??alog464＋b＝4， 4
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