1
令y＝0，解得x＝x1，
212?1?∴P?x1，0?，从而|AP|＝x14?2?12
同理可得，|BQ|＝x2
41
∴|AP|·|BQ|＝
16＝116
4＋x2
22
4＋x1. ， 4＋x1
2
2
x1x24＋x2)
2
2
x1x2
22
[16＋4
2
x2＋x1x21＋x2
]
＝21＋k. ∵k≥0，
∴|AP|·|BQ|的取值范围为[2，＋∞). 热点三 证明问题
圆锥曲线的证明问题，常表现为证明相等、定值、过定点、点在曲线上等，一般是以直线与圆锥曲线为载体，综合使用圆锥曲线的性质及位置关系进行论证.
2
x2y21
例3 (2019·南开模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，以椭
ab2
圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋6＝0相切.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆的右焦点F的直线l1与椭圆交于A，B，过F与l1垂直的直线l2与椭圆交于C，D，与l3：x＝4交于P，求证：直线PA，PF，PB的斜率kPA，kPF，kPB成等差数列.
c1
(1)解 由题意知e＝＝，
a2
a2－b21所以2＝，
a4
422
即a＝b
3
又因为以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆x＋y＝b与直线x－y＋6＝0相切， 所以圆心到直线的距离d＝所以a＝4，b＝3， 故椭圆C的方程为＋＝1.
43
(2)证明 由题意，知当直线l1的斜率存在且不为0时， 设直线l1的方程为y＝k(x－1).
2
2
2
2
2
62
＝b＝3，
x2y2
y＝kx－1，??22由?xy＋＝1，??43
2
2
2
2
得(4k＋3)x－8kx＋4k－12＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 利用根与系数的关系，得 8k4k－12x1＋x2＝2，x1x2＝2，
4k＋34k＋31
由题意知直线l2的斜率为－，
2
2
k1
则直线l2的方程为y＝－(x－1)，
k3??令x＝4，得P点的坐标为?4，－?，
?k?
y1＋y2＋
kkkPA＋kPB＝＋
x1－4x2－4
＝
1?kx1－1kx2－13?1＋＋＋??
x1－4x2－4k?x1－4x2－4?
2x1x2－5x1＋x2＋83x1＋x2－8
＋× x1x2－4x1＋x2＋16kx1x2－4x1＋x2＋16
2
2
2
33
＝k×
4k－128k8k2×2－5×2＋8－82
4k＋34k＋34k＋33
＝k×＋×2 222
4k－128kk4k－128k－4×2＋16－4×2＋1622
4k＋34k＋34k＋34k＋3
＝k×
36
0
2
1＋k－24k－24＋× k361＋k2
3
2
2
＝－＝2kPF，
k即kPA＋kPB＝2kPF，
当直线l1的斜率不存在时，kPA＋kPB＝0，kPF＝0，满足题意， 所以kPA，kPF，kPB成等差数列.
跟踪演练3 (2019·深圳调研)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，其
?3?右焦点为F(1,0)，且点?1，?在椭圆C上. ?2?
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为A，B，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线MB交直线x＝4于Q点，求证：A，N，Q三点在同一条直线上.
x2y2
(1)解 方法一 设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)，
ab∵一个焦点坐标为F(1,0)， ∴另一个焦点坐标为(－1,0)， ∴由椭圆定义可知， 2a＝
1＋1
2
22
?3?2＋?－0?＋?2?
2
1－1
2
?3?2
＋?－0?＝4， ?2?
∴a＝2，∴b＝a－c＝3， ∴椭圆C的方程为＋＝1.
43
x2y2
x2y2
方法二 不妨设椭圆C的方程为＋＝1(m>n>0).
mn
∵一个焦点坐标为F(1,0)，∴m－n＝1，①
?3?又∵点P?1，?在椭圆C上， ?2?
19
∴＋＝1，② m4n联立方程①②，解得m＝4，n＝3， ∴椭圆C的方程为＋＝1.
43(2)证明 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 可设直线MN的方程为x＝my＋1，
x2y2
x＝my＋1，??22
由方程组?xy＋＝1??43
2
2
消去x，
并整理，得(3m＋4)y＋6my－9＝0， ∵Δ＝(6m)＋36(3m＋4)>0， ∴y1＋y2＝－
6m9
，y1y2＝－2， 2
3m＋43m＋4
2
2
∵直线BM的方程可表示为y＝将此方程与直线x＝4联立， 可求得点Q的坐标为?4，
y1
x1－2
(x－2)，
?
?
2y1?
， x1－2??
2y1?→→?
∴AN＝(x2＋2，y2)，AQ＝?6，?
?x1－2?∵6y2－(x2＋2)·＝＝6y2[
2y16y2
＝x1－2
x1－2－2y1x2＋2
x1－2
my1＋1－2]－2y1[my2＋1＋2]
my1＋1－2
y1＋y2
my1－1
4my1y2－6
4m?－＝
9??6m??－6?－22???3m＋4??3m＋4?
my1－1
＝0，
→→∴AN∥AQ，
→→
又向量AN和AQ有公共点A， 故A，N，Q三点在同一条直线上.
真题体验
(2019·全国Ⅱ，理，21)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率
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