※精 品 试 卷※
专题探究课六
高考导航 1.概率与统计是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量.该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、化归转化能力；2.概率问题的核心是概率计算.其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具.统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征；3.离散型随机变量的分布列及其期望的考查是历来高考的重点，难度多为中低档类题目，特别是与统计内容的渗透，背景新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性.
热点一 常见概率模型的概率
几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题形式考查，求解的关键在于找准测度(面积、体积或长度)；相互独立事件、互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列、期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式.
【例1】 (2017·全国Ⅰ卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ).
(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 116
经计算得x＝?xi＝9.97，s＝
16i＝1零件的尺寸，i＝1，2，…，16.
^^
用样本平均数x作为μ的估计值μ，用样本标准差s作为σ的估计值σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过^^^^
程进行检查？剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01). 附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ)，则P(μ－3σ ※推 荐 下 载※ 2 2 1162 （xi－x）＝?16i＝111622 （?xi－16x）≈0.212，其中xi为抽取的第i个16i＝1 ※精 品 试 卷※ 0.997 4≈0.959 2，0.008≈0.09. 解 (1)由题可知抽取的一个零件的尺寸落在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为 0.997 4，从而零件的尺寸落在 (μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X～B(16，0.002 6). 因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997 4≈1－0.959 2＝0.040 8. 16 16 X的数学期望E(X)＝16×0.002 6＝0.041 6. (2)(ⅰ)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有 0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的. ^^ (ⅱ)由x＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为μ＝9.97，σ的估计值为σ＝0.212，由样本数据可以看出有一个零^^^^ 件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外，因此需对当天的生产过程进行检查. 1^^^^ 剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为×(16×9.97－9.22)＝10.02， 15因此μ的估计值为10.02. 16 22 i＝16×0.212＋16×9.97≈1 591.134， ?x2 i＝1 1^^^^22 剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为×(1 591.134－9.22－15×10.02)≈0.008， 15因此σ的估计值为0.008≈0.09. 探究提高 1.解第(1)题的关键是认清随机变量X服从二项分布，并能够应用E(X)＝np求解，易出现的失误是由于题干较长，不能正确理解题意. 2.解第(2)题的关键是理解正态分布的意义，能够利用3σ原则求解，易出现的失误有两个方面，一是不清楚正态分布N(μ，σ)中μ和σ的意义及其计算公式，二是计算失误. 【训练1】 (2018·沈阳调研)甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人321 一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每 4322 人答对的概率都是，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分. 3(1)求ξ＝2的概率； (2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率. 解 (1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错， 32?1?3?2?1?3?2111 故P(ξ＝2)＝××?1－?＋×?1－?×＋?1－?××＝. 2?4?3?2?4?322443? ※推 荐 下 载※ 2 ※精 品 试 卷※ ?2?(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A，甲队比乙队得分高为事件B.设乙队得分为η，则η～B?3，?. ?3? P(ξ＝1)＝×?1－?×?1－?＋?1－?××?1－?＋?1－?×?1－?×＝， 324243 3?4? 2???? 1?? ?? 3?? 2?3? 1???? 3???? 2?11?24 P(ξ＝3)＝××＝， 2?1?22 P(η＝1)＝C··??＝， 3?3?9 13 32431124 ?2?14 P(η＝2)＝C·??·＝， ?3?39 23 2 8?2?P(η＝3)＝C??＝， ?3?27 33 3 ∴P(A)＝P(ξ＝1)P(η＝3)＋P(ξ＝2)P(η＝2)＋P(ξ＝3)·P(η＝1) 18114121＝×＋×＋×＝， 427249493 P(AB)＝P(ξ＝3)·P(η＝1)＝×＝， 1 P（AB）181 ∴所求概率为P(B|A)＝＝＝. P（A）16 3 热点二 概率统计与函数的交汇问题(教材VS高考) 高考数学试题中对概率统计的考查有这样一类试题，题目非常新颖，又非常符合生活实际，这就是概率统计与函数的交汇问题，一般是以统计图表为载体，离散型随机变量的期望是某一变量的函数，利用函数的性质求期望的最值. 【例2】 (满分12分)(2017·全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高 [10，15) 气温 天数 2 16 36 25 7 4 [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 1 421918 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y※推 荐 下 载※ ※精 品 试 卷※ 的数学期望达到最大值？ 教材探源 本题第(2)问需对酸奶的需求量n进行分类讨论，以确定利润的最大值，这种分类讨论的思想源自于人教版教材选修2－3 P63例3. 满分解答 解 (1)由题意知，X所有的可能取值为200，300，500，1分(得分点1) 由表格数据知 P(X＝200)＝P(X＝300)＝P(X＝500)＝ 2＋16 ＝0.2，2分(得分点2) 30×3 36 ＝0.4，3分(得分点3) 30×3 25＋7＋4 ＝0.4.4分(得分点4) 30×3 因此X的分布列为 X P 5分(得分点5) 200 0.2 300 0.4 500 0.4 (2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500. 当300≤n≤500时， 若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n， 若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n； 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n； 因此E(Y)＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.8分(得分点6) 当200≤n<300时， 若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n； 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n； 因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n. 11分(得分点7) 所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.12分(得分点8) ?得步骤分：抓住得分点的步骤、步步为赢：如第(1)问，指出随机变量X所有的可能取值，有则得1分，无则没有分；随机变量X的各个值对应的概率也是每个1分，列出其分布列是1分，也是每个步骤都有分，都是得分点，第(2)问也是如此. ?得关键分：解题过程的关键点，有则给分，无则没分，如第(2)问中，根据n的范围求E(Y)，即当300≤n≤500时，E(Y)＝640－2n；当200≤n≤300时，E(Y)＝160＋1.2n，若这两个关键运算结果有误，即使有计算过程和步骤 ※推 荐 下 载※
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