第二章 贝叶斯公式的应用及其推广
P(A|B)?P(A)P(B|A)P(A)P(B|A?) |A)P(A)P(B0.95
?0.00?10.00?10.?950?.999
0.05
?0.0186 6同理，“被检验出的正品中实际正品率”为： P(A|B)?0.999 947 由P(A|B)?0.018664可知，如果产品的成本较高，厂长就不能采用这台新仪器，因为被仪器判为次品的产品中实际上有98%以上的是正品，这样导致损耗过高.同时，我们也注意到该仪器对正品的检验还是相当精确的，若检验对产品没有破坏作用，倒是可以在“被认定次品”的产品中反复检验，挑出“假次品”，这就降低了损耗，又保证了正品具有较高的可信度. 2.2.2 贝叶斯公式在医疗诊断中的应用
例2：某地居民肝癌病发率为0.0004用甲胎蛋白质法检查肝癌:患病则呈阳性，未患病则呈阴性.假阴性和假阳性的概率分别是0.01和0.05.试问，某人经检验结果呈阳性，他患肝癌的概率有多大?
解：设事件A表示“患有肝癌”，事件B表示“检验结果呈阳性”， 由题意知P(A)?0.0004,P(A)?0.9996,P(B|A)?0.01,P(B|A)?0.05,
由贝叶斯公式可知“他确实患有肝癌的概率”为： P(A|B)?
?0.007 8?0.00?（41-0.01）0.00?（41-0.01）-0.999?0.05P(A)P(B|A)P(A)P(B|A?)P(A)P(B|A)
显然，这使他大吃一惊，患有肝癌的可能不到0.01.仔细一想，也是可以理解的.因为1000人中约有4人患有肝癌，9996人不患肝癌，这1000人的检验中约有504人的结果呈阳性，其中约500人都是“虚惊一场”.因此，减少“虚报” 是提高诊断的关键所在.实际上可先由医生使用简单易行的方法进行“初
10
琼州学院本科毕业论文
查”,再对有可疑之人进行“甲胎蛋白质检查”.如P(A)=0.4,P(A|B)?0.9296，这样就大大提高了此法的准确率了.
2.2.3 贝叶斯公式在统计决策中的应用
目前，市场竞争日趋激烈，决策者必须综合考察已往的信息及现状从而做
出判断.贝叶斯公式可以用于处理先验概率与后验概率，是进行统计决策的重要工具.
例3、一种新产品，一个推销员去推销，成功记为“S”，失败记作“D”，推销员的主观概率P(S)?0.3，P(D)?0.7，成功的收益为50000元，失败的收益为-3000元，请咨询公司作预测调查，有两种调整方法1，2，其费用分别为2000元，3000元，若同时进行1，2，费用为4000元，了解咨询公司的业绩，预报的结论为：
对l： P(F|S)?0.6; 对2：P(F|S)?0.8; 现有如下六种决策:
a、不进行调查 ； b、只进行1 ； c、只进行2 ; d、1，2同时进行；
P(F|D)?0 .0 .(FP(F|D)?：可行；E：不可行)
e、先做1，视情况后做2 ； f、先做2，视情况后做1. 若效益系数为风险中性，请试选择一种最好的决策？ 解: 分别计算各决策的期望效益(收支)：
a.不进行调查：推销EU?50000?P(S)?(?30000)?P(D)
?5000?00?.330?000?0?.7
?6000?12?0?12??3000不推销，期望效益(收支)为0. EU(a)?b.只进行调查方法1.
)?p(1F|S)p(?S) p(F1；
p(F|D)p?(D)?0.?610?.3(E)?0.750?.；1P0.170.2. 5E1表示调整结果为不可行，已用咨询费2000元.
F1表示可行，导致推销，此时运用贝叶斯公式:
p(S|F1)?p(F1|S)p(S)p(F1|S)p(S)?p(F1|D)p(D)?0.72
11
第二章 贝叶斯公式的应用及其推广
因而P(D|F1)?0.28 期望收支(效益)：EU(F1)?50000?0.72?30000?0.28?EU(b)?27600?0.25?2000?0.75?5400；
27600..
c.只进行2，同(b)一样用贝叶斯公式有：EU(c)?6796; d.同时进行1.2，有四种可能结果： F1F2,F1E2,E1F2,E1E2
p(FF)?12p(1F2F|?S)(p1F2F|)D (p)D =p(F1|S)p(F2|S)p(S)?p(F1|D)p(F2|D)p(D)?0.151;
同理有P(F1E2)?0.099;P(E1F2)?0.159;P(E1E2)?0.591,再运用贝叶斯公式， 注意到此时咨询费用为4000元，进一步计算有EU(d)?5808;
e.先进行l，若结论为不可行(E)，则不进行2.
若结论为可行，则进行2，经计算(同以前方法)有：EU(e)?4196;
f.同e，有EU(f)?6188;
根据期望效益准则，通过多次贝叶斯公式的应用，可以知道选择期望效益最大值为6796，对应的决策是C，即只进行2是最好的决策，此例中还多次运用了全概率公式，事实上全概率公式与贝叶斯公式的综合联用是统计决策中的一个重要方法.
2.3 贝叶斯公式的推广
当试验的随机过程不少于两个的时候，在影响目标事件的每一个试验过程中分别建立完备事件组，贝叶斯公式就可以进一步推广. 2.3.1贝叶斯公式推广定理1
设Ai(i?1,2,?n)和Bj(j?1,2,?,n)是先后两个试验过程中的划分，
C为目标事件.当
P(C)?0,P(Ai)?0,P(Bi)?0,P(AiBj)?0,i?1,2,?,n,j?1,2,?,m时，则有：
12
琼州学院本科毕业论文
mP(Ai)?P(Bj|Ai)P(C|AiBj)（1）P(Ai|C)?nj?1P(C),i?1,2?,n
（2）P(Bj|C)??P(A)P(Bii?1j|Ai)P(C|AiBj),j?1,2?,m
P(C)P(Ai)P(Bj|Ai)P(C|AiBj)P(C)m（3）P(AiBj|C)?,i?1,2?,n,j?1,?,m
mij 证明：（1）：P(Ai|C)?同理可以证明（2）、（3）.
P(AiC)P(C)?P(AB?j?1C)?P(A)P(Bij|Ai)P(C|AiBj)P(C)=
j?1P(C)
2.3.2贝叶斯公式推广定理1的应用
2.3.2.1 贝叶斯推广定理1在摸球模型中的应用 例4、已知甲、乙两个口袋中各装有3个白球和5个黑球.现从甲袋中任取1个球然后放人乙袋中，再从乙袋中任取1个球再放回到甲袋中，最后从甲袋中取出1个球.试问:(1)已知最后从甲袋中取出的是1个黑球，则第一次从甲袋中取出的也是黑球的概率;(2)已知最后从甲袋中取出的是l个黑球，则第二次从乙袋中取出的也是黑球的概率;(3)已知最后从甲袋中取出的是1个黑球，则第
一次和第二次取出的都是黑球的概率. 解：设Ai表示“从甲中取出i个黑球放人乙中”，i?0,1；Bj表示“从乙中取出:个黑球又放回甲中”,j?0,1;C表示“第二次从甲中取出1个黑球”.由题意可得：P(A0)?P(B1|A1)?6938;P(A1)?58；P(B0|A0)?38；P(B1|A0)?59；P(B0|A1)?39;
58.
；P(C|A0B0)?58;P(C|A0B1)?68;P(C|A1B0)?48;P(C|A1B1)?(1)由贝叶斯推广（1）可得：
13
相关推荐：
loading