板块命题点专练（二） 函数及其图象和性质
命题点一 函数的概念及其表示
1．(2018·江苏高考)函数f(x)＝log2x－1的定义域为________．
解析：由log2x－1≥0，即log2x≥log22，解得x≥2，所以函数f(x)＝log2x－1的定义域为{x|x≥2}．
答案：{x|x≥2}
2．(2016·江苏高考)函数y＝3－2x－x的定义域是________．
解析：要使函数有意义，需3－2x－x≥0，即x＋2x－3≤0，得(x－1)(x＋3)≤0，即－3≤x≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．
答案：[－3,1]
3．(2016·浙江高考)设函数f(x)＝x＋3x＋1，已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)，
2
3
2
2
2
2x∈R，则实数a＝____，b＝________.
解析：因为f(x)＝x＋3x＋1， 所以f(a)＝a＋3a＋1， 所以f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a) ＝(x－b)(x－2ax＋a)
＝x－(2a＋b)x＋(a＋2ab)x－ab ＝x＋3x－a－3a. 2a＋b＝－3， ①??2
由此可得?a＋2ab＝0， ②
??a3＋3a2＝a2b. ③
3
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
3
23
2
因为a≠0，所以由②得a＝－2b，代入①式得b＝1，a＝－2. 答案：－2 1
??2，x≤0，
4．(2018·全国卷Ⅰ改编)设函数f(x)＝?
?1，x＞0，?
－x
则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是________．
??x＋1≤0，
解析：法一：①当?
??2x≤0，
即x≤－1时，
f(x＋1)＜f(2x)，即为2－(x＋1)＜2－2x，
即－(x＋1)＜－2x，解得x＜1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．
1
??x＋1≤0，②当?
?2x＞0???x＋1＞0，③当?
?2x≤0，?
时，不等式组无解．
即－1＜x≤0时，
f(x＋1)＜f(2x)，即为1＜2－2x，解得x＜0.
因此不等式的解集为(－1,0)．
??x＋1＞0，④当?
?2x＞0，?
即x＞0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，0)．
??2，x≤0，法二：∵f(x)＝?
?1，x＞0，?
－x
∴函数f(x)的图象如图所示． 结合图象知，要使f(x＋1)＜f(2x)，
x＋1＜0，??
则需?2x＜0，
??2x＜x＋1
∴x＜0.
??x＋1≥0，
或?
?2x＜0，?
答案：(－∞，0)
命题点二 函数的基本性质
1.(2016·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)
x＋a，－1≤x＜0，??
＝??2?
?－x?，0≤x＜1，???5?
?5??9?其中a∈R.若f ?－?＝f ??，则f(5a)的值是________．
?2??2?
解析：因为函数f(x)的周期为2，结合在[－1,1)上f(x)的解析式，得
f?－?＝f?－2－?＝f?－?＝－＋a，
222
?5????9???
??
1?
?
?1???
12
f??＝f?4＋?＝f??＝?－?＝. 22252
?
?
1?
?
?1??21?1????10
113?5??9?由f?－?＝f??，得－＋a＝，解得a＝.
2105?2??2?32
所以f(5a)＝f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝－1＋＝－.
552
答案：－
5
2．(2013·江苏高考)已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f(x)＝x－4x，则
2
2
不等式f(x)＞x的解集用区间表示为________．
解析：由于f(x)为R上的奇函数，所以当x＝0时，f(0)＝0； 当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝x＋4x＝－f(x)，
2
x－4x，x＞0，??2
即f(x)＝－x－4x，所以f(x)＝?0，x＝0，
??－x2－4x，x＜0.
??x－4x＞x，
由f(x)＞x，可得?
??x＞0
2
2
??－x－4x＞x，
或???x＜0，
2
解得x＞5或－5＜x＜0，
所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)． 答案：(－5,0)∪(5，＋∞)
3．(2018·全国卷Ⅱ改编)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝ f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________.
解析：法一：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(1－x)＝－f(x－1)．
由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)， ∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴函数f(x)是周期为4的周期函数． 由f(x)为奇函数得f(0)＝0. 又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0. 又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50) ＝0×12＋f(49)＋f(50) ＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
?π?法二：由题意可设f(x)＝2sin?x?，作出f(x)的部分图象如图所?2?
示．由图可知，f(x)的一个周期为4，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
3
答案：2
4．(2017·全国卷Ⅱ改编)函数f(x)＝ln(x－2x－8)的单调递增区间是________． 解析：由x－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.因此，函数f(x)＝ln(x－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．
答案：(4，＋∞)
5．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x＋x，则f(2)＝________.
解析：由已知得，f(－2)＝2×(－2)＋(－2)＝－12， 又函数f(x)是奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝12. 答案：12
6．(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈ [－3,0]时，f(x)＝6，则f(919)＝________.
解析：因为f(x＋4)＝f(x－2)，所以f(x＋6)＝f(x)， 所以f(x)的周期为6，
因为919＝153×6＋1，所以f(919)＝f(1)． 又f(x)为偶函数，所以f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6. 答案：6
命题点三 函数的图象
1.(2016·全国卷Ⅱ改编)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝
m－x3
2
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2
2
2
2
2
x＋1
x与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则? (xi＋yi)＝________.
i＝1
解析：因为f(－x)＝2－f(x)，所以f(－x)＋f(x)＝2.因为
－x＋x＝0，2
f－x＋fx2
＝1，所以函数y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称．函数y＝
x＋11
＝1＋，xx故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y＝x＋1
与y＝f(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，xmm(xm，ym)成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以?xi＝0，?yi＝2×＝m，所以? (xi2i＝1i＝1i＝1＋yi)＝m.
答案：m
2．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ax－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________.
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mm解析：因为f(x)＝ax－2x的图象过点(－1,4)， 所以4＝a×(－1)－2×(－1)， 解得a＝－2. 答案：－2
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