2016届高三自主招生辅导讲义
o??kQr?RE????r2 r?R
④球对称分布的带电球体的场强 推导方法同上，如图1-1-4， 对高斯面1，
r3kQr??E?4?r?4?k?qi?4?k3Q,E?3RR；
2对高斯面2，
??E?4?r2?4?k?qi?4?kQ,E?kQr2。
?kQr?RE??kQr?R??r r?R
32
【例5】如图所示，在-d≤x≤d的空间区域内（y，z方向无限延伸）均匀分布着密度为ρ的正电荷，此外均为真空
（1）试求x≤d处的场强分布；
（2）若将一质量为m，电量为-q的带点质点，从x=d处由静止释放，试问该带电质点经过过多长时间第一次到达x=0处。
解： 根据给定区域电荷分布均匀且对称，在y、z方向无限伸展的特点，我们想象存在这样一个圆柱
PE体，底面积为S，高为2x，左、右底面在x轴上的
O坐标分别是-x和x，如图1-1-8所示。可以判断圆柱Sd?d体左、右底面处的场强必定相等，且方向分别是逆x
轴方向和顺x轴方向。再根据高斯定理，便可求出2x坐标为x处的电场强度。
（1）根据高斯定律E?2S?4?k???S?2x。坐标为x处的场强：
x 图1-1-8
E?4?k?x（x≤d），x＞0时，场强与x轴同
向，x＜0时，场强与x轴反向。
（2）若将一质量为m、电量为?q的带电质点置于此电场中，质点所受的电场力为：
F??qE??4?k?qx（x≤d）
显然质点所受的电场力总是与位移x成正比，且与位移方向相反，符合准弹性力的特点。质点在电场力的运动是简谐振动，振动的周期为
T?2?m?m?4?k?qk?q t?TT?m?44k?q
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当质点从x=d处静止释放，第一次达到x=0处所用的时间为
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四、电势差、电势、等势面、电势能
几种常见带电体的电势分布 （1）点电荷周围的电势
如图1-2-1所示，场源电荷电量为Q，在离Q为r的P点处有一带电量为q的检验电
PP1P荷，现将该检验电荷由P点移至无穷远处（取无穷远处为零Q2r电势），由于此过程中，所受电场力为变力，故将q移动的整rr2个过程理解为由P移至很近的P1（离Q距离为r1）点，再由
1P1移至很近的P2（离Q距离为r2）点??直至无穷远处。
W?k?
图1-2-1
在每一段很小的过程中，电场力可视作恒力，因此这一过程中，电场力做功可表示为：
QqQqQq?????r3?r2??r?r?kr?r?k121r2r12r22??
kQq?r1?r??kQq?r2?r1??kQq?r3?r2??rr1r1r2r2r3?? kQqkQqkQqkQqkQqkQq??????rr1r1r2r2r3?? Qqr Qr
?
所以点电荷周围任一点的电势可表示为：
?kU?k式中Q为场源电荷的电量，r为该点到场源电荷的距离。 电势叠加原理
电势和场强一样，也可以叠加。因为电势是标量，因此在点电荷组形成的电场中，任一点的电势等于每个电荷单独存在时，在该点产生的电势的代数和，这就是电势叠加原理。 （2）均匀带电球壳，实心导体球周围及内部的电势。
由于实心导体球处于静电平衡时，其净电荷只分布在导体球的外表面，因此其内部及周围电场、电势的分布与均匀带电球壳完全相同。由于均匀带电球壳外部电场的分布与点电荷周围电场的分布完全相同，因此用上面类似方法不难证明均匀带电球壳周围的电势为。
U?kQr r＞R
Ui?k?qR。
式中Q为均匀带电球壳的电量，R为球壳的半径，r为该点到球壳球心的距离。 在球壳上任取一个微元，设其电量为?q，该微元在球心O处产生的电势
由电势叠加原理，可知O点处电势等于球壳表面各微元产生电势的代数和，
U??Ui??k?qk???qRR。
U?kQR
kQ因为均匀带电球壳及实心导体球均为等势体，因而它们内部及表面的电势均为R。
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?kQ?U??r(r?R)kQ??R (r?R)
【例6】如图所示，半径为R的圆环均匀带电，电荷线密度为λ，圆心在O点，过圆心跟环面垂直的轴线上有P点，PO = r ，以无穷远为参考点，试求P点的电势UP 。 【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取一个元段ΔL ，它在P点形成的电势
ΔU = k环共有
??LR?r22
2?R段，各段在P点形成的电势相同，而且它们是标量叠加。 ?L【答案】UP =
2?k?RR2?r2
〖思考〗如果上题中知道的是环的总电量Q ，则UP的结论为多少？如果这个总电量的分布不是均匀的，结论会改变吗？
〖答〗UP =
kQR?r22 ；结论不会改变。
【例7】半径为R的半球形薄壳，其表面均匀分布面电荷密度为?的电荷，求该球开口处圆面上任一点的电势。
解： 设想填补面电荷密度亦为??的另半个球面如图1-2-3所
E下示，则球内任一点的场强均为0，对原半球面开口处圆面上的任一点P而言，也有EP?0，而EP是上、下两个半球在P点产生场强E上、E下的合成。另据对称性易知，E上、E下的大小必定相等，
而E上、E下的合场强为零，说明E上、E下均垂直于半球开口平面，故在半球面带均匀电荷的情况下，它的开口圆面应为等势点，即圆面上任一点的电势都等于开口圆面圆心点处的电势。故
OPE上图1-2-3
Q??2?R2UP?U0?k??k??2?k?RRR
说明 虽然场强与电势是描述电场不同方面特性的两个物理量，它们之间没有必然的
对应关系，但电势相等的各点构成的等势面应与该处的场强方向垂直，利用这个关系可为求取场强或电势提供一条有用的解题路径。
【例8】如图所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为R1和R2 ，带有净电量+q ，现在其内部距球心为r的地方放一个电量为+Q的点电荷，试求球心处的电势。
【解析】由于静电感应，球壳的内、外壁形成两个带电球壳。球心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果。
根据静电感应的尝试，内壁的电荷量为－Q ，外壁的电荷量为+Q+q ，虽然内壁的带电是不均匀的，根据上面的结论，其在球心形成的电势仍可以应用定式，所以…
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QQQ?q － k + k 。 rR1R2【答案】Uo = k
【例9】如图1-2-2所示，两个同心导体球，内球半径为R1，外球是个球壳，内半径为R2，外半径R3。在下列各种情况下求内外球壳的电势，以及壳内空腔和壳外空间的电势分布规
律。
（1）内球带?q，外球壳带?Q。 （2）内球带?q，外球壳不带电。 （3）内球带?q，外球壳不带电且接地。 （4）内球通过外壳小孔接地，外球壳带?Q。
解: 如图1-2-2所示，根据叠原理：
（1）R1处有均匀的?q，R2必有均匀的?q，R3处当然有??Q?q?电荷，因此：
内球 外球
R3R2R1图1-2-2
U1?kU2?k?Q?q?qq?k?kR1R2R3
?Q?q??k?Q?q?qq?k?kR2R2R3R3
qq?kR1R2 电势差
?Q?q?qqU内?k?k?krR2R3 （R1＜r＜R2） 腔内
U12?U1?U2?kU外?k壳外
?Q?q??k?Q?q?qq?k?krrR3R3 （r＞R3）
（2）R1处有?q，R2处有?q，R3处有?q，因此：
qqq?k?kR1R2R3 内球
qqqqU2?k?k?k?kR2R2R3R3 外球
qqU12?U1?U2?k?kR1R2 电势差
U1?k腔内 壳外
U内?kU外qqq?k?krR2R3 （R1＜r＜R2） qqqq?k?k?k?krrrr （r＞R3）
qq?kR1R2
（3）R1处有?q，R2处有?q，外球壳接地，外球壳U2?0，R3处无电荷。 内球
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