2016届高三自主招生辅导讲义
电势差 腔内 壳外
U12?U1?U2?kqq?kR1R2
U内?kU外qq?krR2 （R1＜r＜R2） qq?k?k?0rr （r＞R3）
（4）内球接地电势为零，内球带?q?，R2处有?q?，R3处有??Q?q?，先求q?，
?k因为
?Q?q???0q?q??k?kR1R2R3
解得 q??QR1R2/?R1R2?R2R3?R1R3? 内球 U1?0 外球
U2??k?Q?q??q?q??k?kR2R2R3
q?q??Q?q???kkrR2R3
?kQ?R2?R1?/?R1R2?R2R3?R1R3??U21 腔内
U内??k?kQR2?R1??1???R1R2?R2R3?R1R3??r?（R1＜r＜R2）
U外??k壳外
?Q?q???kQR3?R2?R1?q?q??k?k?R1R2?R2R3?R1R3?r rrR3
【例10】（2013清华大学保送生考试）图中，三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘细棒，每根棒上的电荷分布情况与绝缘棒都换成导体棒时完全相同。点A是Δabc的中心，点B则与A相对bc棒对称，且已测得它们的电势分别为UA和UB 。试问：若将ab棒取走，A、B两点的电势将变为多少？
【模型分析】由于细棒上的电荷分布既不均匀、三根细棒也没有构成环形，故前面的定式不能直接应用。若用元段分割→叠加，也具有相当的困难。所以这里介绍另一种求电势的方法。
每根细棒的电荷分布虽然复杂，但相对各自的中点必然是对称的，而且三根棒的总电量、分布情况彼此必然相同。这就意味着：①三棒对A点的电势贡献都相同（可设为U1）；②ab棒、ac棒对B点的电势贡献相同（可设为U2）；③bc棒对A、B两点的贡献相同（为U1）。
所以，取走ab前 3U1 = UA
2U2 + U1 = UB
取走ab后，因三棒是绝缘体，电荷分布不变，故电势贡献不变，所以
UA′= 2U1
UB′= U1 + U2
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【答案】UA′=
211UA ；UB′= UA + UB 。 362〖模型变换〗正四面体盒子由彼此绝缘的四块导体板构成，各导体板带电且电势分别为
U1 、U2 、U3和U4 ，则盒子中心点O的电势U等于多少？
〖解说〗此处的四块板子虽然位置相对O点具有对称性，但电量各不相同，因此对O点的电势贡献也不相同，所以应该想一点办法——
我们用“填补法”将电量不对称的情形加以改观：先将每一块导体板复制三块，作成一个正四面体盒子，然后将这四个盒子位置重合地放置——构成一个有四层壁的新盒子。在这个新盒子中，每个壁的电量将是完全相同的（为原来四块板的电量之和）、电势也完全相同（为U1 + U2 + U3 + U4），新盒子表面就构成了一个等势面、整个盒子也是一个等势体，故新盒子的中心电势为
U′= U1 + U2 + U3 + U4
最后回到原来的单层盒子，中心电势必为 U = 〖答〗U =
1（U1 + U2 + U3 + U4）。 41 U′ 4〖反馈练习〗电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R ，CD为通过半球顶点C和球心O的轴线，如图7-12所示。P、Q为CD轴线上相对O点对称的两点，已知P点的电势为UP ，试求Q点的电势UQ 。
〖解说〗这又是一个填补法的应用。将半球面补成完整球面，并令右边内、外层均匀地带上电量为q的电荷，如图7-12所示。
从电量的角度看，右半球面可以看作不存在，故这时P、Q的电势不会有任何改变。
而换一个角度看，P、Q的电势可以看成是两者的叠加：①带电量为2q的完整球面；②带电量为－q的半球面。
考查P点，UP = k
2q + UR半球面
其中 U半球面显然和为填补时Q点的电势大小相等、符号相反，即 U半球面= －UQ 以上的两个关系已经足以解题了。 〖答〗UQ = k
2q － UP 。 R【例11】在不计重力空间，有A、B两个带电小球，电量分别为q1和q2 ，质量分别为m1和m2 ，被固定在相距L的两点。试问：（1）若解除A球的固定，它能获得的最大动能是多少？（2）若同时解除两球的固定，它们各自的获得的最大动能是多少？（3）未解除固定时，这个系统的静电势能是多少？
【解说】第（1）问甚间；第（2）问在能量方面类比反冲装置的能量计算，另启用动量守恒关系；第（3）问是在前两问基础上得出的必然结论…（这里就回到了一个基本的观念斧正：势能是属于场和场中物体的系统，而非单纯属于场中物体——这在过去一直是被忽视的。在两个点电荷的环境中，我们通常说“两个点电荷的势能”是多少。）
【答】（1）k
q1q2qqqqqqm2m1；（2）Ek1 = k12 ，Ek2 = k12；（3）k12 。 rrrrm1?m2m1?m2〖思考〗设三个点电荷的电量分别为q1 、q2和q3 ，两两相距为r12 、r23和r31 ，则这
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个点电荷系统的静电势能是多少？
〖解〗略。〖答〗k（
q1q2q2q3q3q1++）。 r23r12r31【例12】如图所示，三个带同种电荷的相同金属小球，每个球的质量
均为m 、电量均为q ，用长度为L的三根绝缘轻绳连接着，系统放在光滑、绝缘的水平面上。现将其中的一根绳子剪断，三个球将开始运动起来，试求中间这个小球的最大速度。
〖解〗设剪断的是1、3之间的绳子，动力学分析易知，2球获得最大动能时，1、2之间的绳子与2、3之间的绳子刚好应该在一条直线上。而且由动量守恒知，三球不可能有沿绳子方向的速度。设2球的速度为v ，1球和3球的速度为v′，则
动量关系 mv + 2m v′= 0
q2q2q211能量关系 3k = 2 k + k + mv2 + 2mv?2
22LL2L解以上两式即可的v值。 〖答〗v = q
2k 。 3mL五、电像法
电像法的实质在于将一给定的静电场变换为另一易于计算的等效静电场，多用于求解在边界面（例如接地或保持电势不变的导体）前面有一个或一个以上点电荷的问题，在某些情况下，从边界面和电荷的几何位置能够推断：在所考察的区域外，适当放几个量值合适的电荷，就能够模拟所需要的边界条件。这些电荷称为像电荷，而
y这种用一个带有像电荷的、无界的扩大区域，来代替有界区域P(x,y,z)的实际问题的方法，就称为电像法。例如：
①一无限大接地导体板A前面有一点电荷Q，如图1-3-5rr?所示，则导体板A有（图中左半平面）的空间电场，可看作是2dQx在没有导体板A存在情况下，由点电荷Q与其像电荷-Q所共同
A激发产生。像电荷—Q的位置就是把导体板A当作平面镜时，
z由电荷Q在此镜中的像点位置。于是左半空间任一点的P的电势为
式中r和r?分别是点电荷Q和像电荷-Q到点P的距离，并且
?11?U?kQ????rr??
2 图1-3-5
r2?x2?y2?z2,r?2??2d?x??y2?z2，此处d是点电荷Q到导
体板A的距离。
电像法的正确性可用静电场的唯一性定理来论证，定性分析可从电场线等效的角度去说明。
②一半径为r的接地导体球置于电荷q的电场中，
点电荷到球心的距离为h，球上感应电荷同点电荷q之间的相互作用也可以用一像电荷q?替代，显然由对称性易知像电荷在导体球的球心O与点电荷q的连线上，设其电量为q?，离球心O的距离为h?，如图1-3-6所示，则对球面上任一点P，其电势
hz?qp?q?o 图
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?qq??U?k??22r2?h?2?2rh?cos??r?h?2rhcos?整理化简得
???0,??
q2r2?h?2?2q2rh?cos??q?2r2?h2?2q?2rhcos?
要使此式对任意?成立，则必须满足
q2r2?h?2?q?2r2?h2
q2h??q?2h
r2rh??,q??qhh 解得
③对（2）中情况，如将q移到无限远处h??，同时增大q，使在球心处的电场
????????E0?kqh2r2h????qh无限趋近球心，但保持有限（相当于匀强电场的场强），这时，像电荷对应的rr2qq?h??q??r32hhh保持有限，因而像电荷q?和?q?在球心形成一个电偶极子，其电偶?r3?P?q?h??E0k极矩。
无限远的一个带无限多电量的点电荷在导体附近产生的电场E0可看作是均匀的，因此一个绝缘的金属球在匀强电场中E0受感应后，它的感应电荷在
r3?E0球外空间的作用相当于一个处在球心，电偶极矩为k的电
偶极子。 【例13】在距离一个接地的很大的导体板为d的A处放一个带电量为?q的点电荷（图1-3-7）。
（1）求板上感应电荷在导体内P点（PA?r）产生的电场强度。 （2）求板上感应电荷在导体外P?点产生的电场强
E感度，已知P?点与P点以导体板右表面对称。
P（3）求证导体板表面化的电场强度矢量总与导体?板表面垂直。 E?q??（4）求导体板上感应电荷对电荷?q的作用力， （5）若切断导体板跟地的连接线，再把?Q电荷
?????PP?rdA?q图1-3-7
?qP??置于导体板上，试说明这部分?Q电荷在导体板
P?上应如何分布才可以达到静电平衡（略去边缘效E感P?应）。
分析： 由于导体板很大且接地，因此只有
图1-3-8乙 图1-3-8丙
右边表面才分布有正的感应电荷，而左边接地那
一表面是没有感电荷的。静电平衡的条件是导体内场强为零，故P点处的场强为零，而P点处的零场强是导体外及表面电荷产生场强叠加的结果。
?????????q解： （1）因为静电平衡后导体内部合场强为零，所以感应电荷在P点的场强E感和?q第16页
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