概率统计建模讲义

在给定的观测范围内（例如给定时间内，给定区域内，等等），事件会发生多少次？把观测范围分成n个小范围： 1、 给定事件在每个小范围内可能发生，也可能不发生，

发生多少次取决于小范围的大小；

2、 在不同的小范围内发生多少事件相互独立； 3、 在小范围里发生的事件数多于一个的概率，和小范

围的大小相比可以忽略不计，用pn表示在小范围内事件发生一次的概率。

npn那么在给定范围内发生的总事件数X近似服从B(n,pn)，

为给定范围内事件发生次数的近似平均值。令n??，则npn??为给定范围内事件发生次数的准确平均值，这时

kkkn?kP(X?k)?Cnpn(1?pn)??ke??,???k????????

k!这正是Poisson分布，其中参数?＝E(X)。

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例3、正态分布

随机变量X如果有密度函数

1p(x)?e2??X(x??)2?2?2????????x???,?????

2(?,?)的正态分布，记做则称此随机变量服从参数为

N(?,?2)，其中??R,????0,都是给定的参数，

E(X)??,?D(X)??2?。称N(0,1)为标准正态分布，用?(x)表

示其分布函数，其密度函数为

1?(x)?e2?XN(?,?2)时，我们有

bx2?2????????x???.

P{a?X?b}??p(x)dx??a??(x)dx???b??????a?????? a????????????b?? 目录 Back Next

大量连续型随机变量服从正态分布，所以正态分布在处理数据时是非常有用处的。我们在统计部分会大量用到它。Matlab中用norm表示正态分布，参数是数学期望和标准差。 下面是正态分布的密度函数图像：（正态密度图像）

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例4、指数分布

称随机变量X服从参数为1的指数分布或标准指数分布，若它有密度函数

?x?e?,????x?0;p(x)??

0,???????????其他.??它的分布函数为

?????????????x?0;?0,F(x)?? ?x1?e?????x??????? 设Y?X??b,??0,??b?R是给定常数，则Y的分布函数为

FY(x)?P{Y?x}?P{X??(x?b)}?F(?(x?b))??0,?????????????????x?b;?????????????(x?b)1?e????x?b.??其密度函数为

??0,?????????????????x?b;pY(x)????(x?b)

?e???????x?b.??这是一般的指数分布。

E(Y)?1??b,??D(Y)??2。

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