1×(2.5×12＋3×12＋3.5×17＋4×20＋4.5×15100[解] (1)a＝＋5×13＋5.5×8＋6×3)＝4. (2)设甲船到达的时间为x.乙船到达的时间为y. ?0＜x≤24?则???0＜y≤24. 若这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待.则|y－x|＜4. 符合题意的区域如图中阴影部分(不包括x.y轴)所示． 记“这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待”为事件A. 124×24－2××20×20211则P(A)＝＝. 24×243611所以这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为. 3610．一汽车厂生产A.B.C三类轿车.每类轿车均有舒适型和标准型两种型号.某月的产量(单位：辆)如表： 舒适型 标准型 A类轿车 100 300 B类轿车 150 450 C类轿车 z 600 按类用分层抽样的方法从这个月生产的轿车中抽取50辆.其中有A类轿车10辆． (1)求z的值； (2)用分层抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体.从中任取2辆.求至少有1辆舒适型轿车的概率； (3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆.经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体.从中任取一个数xi(1≤i≤8.i∈N).设样本平均数为x.求|xi－x|≤0.5的概率． 5010[解] (1)设该厂这个月共生产轿车n辆.由题意得＝.所以n＝2 000.则z＝n100＋3002 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400. 400a(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车.由题意得＝.得a＝2. 1 0005所以抽取的容量为5的样本中.有2辆舒适型轿车.3辆标准型轿车． 用A1.A2分别表示2辆舒适型轿车.用B1.B2.B3分别表示3辆标准型轿车.用E表示事件“在该样本中任取2辆.至少有1辆舒适型轿车”．从该样本中任取2辆包含的基本事件有(A1.A2).(A1.B1).(A1.B2).(A1.B3).(A2.B1).(A2.B2).(A2.B3).(B1.B2).(B1.B3).(B2.B3).共10个. 5 / 8 其中事件E包含的基本事件有(A1.A2).(A1.B1).(A1.B2).(A1.B3).(A2.B1).(A2.B2).(A2.B3).共7个． 77故P(E)＝.即所求的概率为. 10101(3)样本平均数x＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D表示事8件“从样本中任取一个数xi(1≤i≤8.i∈N).|xi－x|≤0.5”.则从样本中任取一个数有8个基本事件.事件D包括的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0.共6个． 633所以P(D)＝＝.即所求的概率为. 844 题号 内容 押题依据 本题将半圆、圆、圆环的面积等知识融入到几何概型中.既为几何1 几何概型 概型输送了新鲜的“血液”.又为圆的知识找到了坚定的“着陆点”.使呆板、平淡的几何概型充满活力.很好地考查了考生的直观想象和数学运算的核心素养 频率分布2 直方图、分层抽样、概率 本题是以临潼石榴为背景设的频率分布直方图、概率、决策型问题相交汇的试题.设问角度新颖、典型.有代表性.意在考查考生的逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养 6 / 8 【押题1】 如图.半圆、较大圆、小圆的直径比为4∶2∶1.若在该半圆内随机取一点.则该点取自阴影部分的概率是( ) 13313A. B. C. D. 716816C [设小圆的半径为r.因为半圆、较大圆、小圆的直径比为4∶2∶1.所以阴影部分的122222面积S1＝π(2r)－πr＝3πr.半圆的面积S＝π(4r)＝8πr.根据几何概型的概率计算公2S13πr23式.得该点取自阴影部分的概率P＝＝＝.故选C.] S8πr28【押题2】 临潼石榴集中国石榴之优.素以色泽艳丽.果大皮薄.汁多味甜.品质优良等特点而著称．临潼石榴名居中国五大名榴之冠.被列为果中珍品．白居易曾写诗赞美：“日照血球将滴地.风翻火焰欲烧人．”现从该地区某村的石榴树上随机摘下100个石榴进行测重.其质量分布在区间[200,500]内(单位：克).根据统计的数据作出频率分布直方图如图所示： (1)按分层抽样的方法从质量落在[350,400).[400,450)内的石榴中随机抽取5个.再从这5个石榴中随机抽取2个.求这2个石榴中质量至少有一个不小于400克的概率； (2)以各组数据的中间数值代表这组数据.以频率代表概率.已知该村大约还有100 000个石榴待出售.某电商提出如下两种收购方案： 方案A：所有石榴均以20元/千克的价格收购． 方案B：低于350克的石榴以5元/个的价格收购.高于或等于350克的以9元/个的价格收购． 请你通过计算为该村选择收益最好的方案． [解] (1)由题得石榴质量在[350,400)和[400,450)内的比例为3∶2. 7 / 8 所以应分别在质量在[350,400)和[400,450)内的石榴中各抽取3个和2个． 记所抽取的质量在[350,400)内的石榴为A1.A2.A3.质量在[400,450)内的石榴为B1.B2. 则从这5个石榴中随机抽取2个的情况共有以下10种： {A1.A2}.{A1.A3}.{A2.A3}.{A1.B1}.{A2.B1}.{A3.B1}.{A1.B2}.{A2.B2}.{A3.B2}.{B1.B2}． 7其中质量至少有一个不小于400克的有7种情况.故所求概率为. 10(2)方案B好.理由如下： 由频率分布直方图可知.石榴质量在[200,250)内的频率为50×0.001＝0.05. 同理.石榴质量在[250,300).[300,350).[350,400).[400,450).[450,500]内的频率依次为0.16,0.24,0.3,0.2,0.05. 若按方案B收购： 因为石榴质量低于350克的个数为(0.05＋0.16＋0.24)×100 000＝45 000. 石榴质量不低于350克的个数为55 000个. 所以总收益为45 000×5＋55 000×9＝720 000(元)． 若按方案A收购： 根据题意各区间段内石榴个数依次为5 000,16 000,24 000,30 000,20 000,5 000. 于是总收益为(225×5 000＋275×16 000＋325×24 000＋375×30 000＋425×20 000＋20475×5 000)×＝709 000(元)． 1 000因为720 000＞709 000.即方案B的收益比方案A的收益高.所以该村应选择方案B. 8 / 8
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