B为抛物线的顶点，点⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标，
D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的
（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE，
②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝
，∠CAE＝∠OBE时，求
﹣
的值．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）令y＝0，可得ax（x+6）＝0，则A点坐标可求出，（2）①连接PC，连接PB延长交x轴于点M，由切线的性质可证得∠②设OE＝m，由CE＝OE?AE，可得整理代入
2
2
ECD＝∠COE，则CE＝DE，
，则
，综合
，由∠CAE＝∠OBE可得
可求出的值．
解：（1）令ax+6ax＝0，ax（x+6）＝0，∴A（﹣6，0），（2）①证明：如图，连接
PC，连接PB，延长交x轴于点M，
∵⊙P过O、A．B三点，B为顶点，∴PM⊥OA，∠PBC+∠BOM＝90°，又∵PC＝PB，
∴∠PCB＝∠PBC，∵CE为切线，
∴∠PCB+∠ECD＝90°，又∵∠BDP＝∠CDE，∴∠ECD＝∠COE，∴CE＝DE．
②解：设OE＝m，即E（m，0），由切割线定理得：
2
CE＝OE?AE，
2
∴（m﹣t）＝m?（m+6），∴
①，
∵∠CAE＝∠CBD，
∠CAE＝∠OBE，∠CBO＝∠EBO，由角平分线定理：
，
即：，
∴由①②得
2
②，
，
整理得：t+18t+36＝0，∴t＝﹣18t﹣36，∴
．
x轴的交点坐标、切线的性质、会灵活运用圆的性质进行计算是
2
【点评】本题是二次函数与圆的综合问题，涉及二次函数图象与等腰三角形的判定、解题的关键．
14.（2019年湖南省湘西州）如图，抛物线
在线段OE上（点A在点B的左侧），点N是CD的中点，已知
切割线定理等知识．
把圆的知识镶嵌其中，
y＝ax+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边ABC、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点
2
OA＝2，且OA：AD＝1：3．
（1）求抛物线的解析式，
（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接周长的最小值，
M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF
（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点点P的坐标，若不存在，请说明理由，
P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出
（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
K、L，且
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）由点E在x轴正半轴且点
A在线段OE上得到点A在x轴正半轴上，所以A（2，0），
ABCD为矩形，故有
AD⊥AB，所以点D在第四D、E，用待定系数法即
由OA＝2，且OA：AD＝1：3得AD＝6．由于四边形象限，横坐标与求出其解析式．
A的横坐标相同，进而得到点
D坐标．由抛物线经过点
（2）画出四边形MNGF，由于点F、G分别在x轴、y轴上运动，故可作点M'，作点N关于y轴的对称点点
M关于x轴的对称点点
N'，得FM＝FM'、GN＝GN'．易得当M'、F、G、N'在同一直线上
MNGF周长最小值等于
MN+M'N'．根据矩形性质、抛物线线
时N'G+GF+FM'＝M'N'最小，故四边形性质等条件求出点
M、M'、N、N'坐标，即求得答案．
ODP的面积．又因为△ODP的面积常
（3）因为OD可求，且已知△ODP中OD边上的高，故可求△规求法是过点
P作PE平行y轴交直线OD于点E，把△ODP拆分为△OPE与△DPE的和或差来计算，
P坐标为t，用t表示PE的长即列得方程．求得
t的值要讨论是否满足
故存在等量关系．设点点P在x轴下方的条件．
（4）由KL平分矩形ABCD的面积可得知，点K由点O平移得到，点
K在线段AB上、L在线段CD上，画出平移后的抛物线可
K（m，0），L（2+m，0）．易证KL平分
H坐标为（4，﹣3），由中点坐标公
L由点D平移得到，故有
矩形面积时，KL一定经过矩形的中心式即求得m的值．
H且被H平分，求出
解：（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2 ∴A（2，0）∵OA：AD＝1：3
∴AD＝3OA＝6 ∵四边形ABCD是矩形∴AD⊥AB ∴D（2，﹣6）
∵抛物线y＝ax2
+bx经过点D、E
∴解得：
∴抛物线的解析式为y＝x2
﹣4x
（2）如图1，作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点
N'，连接FM'、M'N' ∵y＝
x2
﹣4x＝
（x﹣4）2
﹣8
∴抛物线对称轴为直线
x＝4
∵点C、D在抛物线上，且
CD∥x轴，D（2，﹣6）
∴yC＝yD＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称∴xC＝4+（4﹣xD）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）∴AB＝CD＝4，B（6，0）
∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°∴∠BAM＝45°∴BM＝AB＝4 ∴M（6，﹣4）
∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上∴M'（6，4），FM＝FM' ∵N为CD中点∴N（4，﹣6）
∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN' ∴C四边形
MNGF
＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'
∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小
∴C四边形
MNGF
＝MN+M'N'＝
＝2
+10
＝12
∴四边形MNGF周长最小值为
12
．
GN'、
（3）存在点P，使△ODP中OD边上的高为过点P作PE∥y轴交直线OD于点E ∵D（2，﹣6）∴OD＝
设点P坐标为（t，
2
．
，直线OD解析式为y＝﹣3x
t﹣4t）（0＜t＜8），则点E（t，﹣3t）
①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧∴PE＝yE﹣yP＝﹣3t﹣（∴S△ODP＝S△OPE+S△DPE＝
t﹣4t）＝﹣
2
t+t
PE（xP+xD﹣xP）＝
PE?xD＝PE＝﹣
t+t
2
2
PE?xP+PE?（xD﹣xP）＝
，
∵△ODP中OD边上的高h＝∴S△ODP＝∴﹣
2
OD?h
×2
×
t+t＝
方程无解
②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧∴PE＝yP﹣yE＝
t﹣4t﹣（﹣3t）＝
PE?xP﹣×
2
t﹣t
PE（xP﹣xP+xD）＝
PE?xD＝PE＝
t﹣t
2
2
∴S△ODP＝S△OPE﹣S△DPE＝∴
t﹣t＝
2
PE?（xP﹣xD）＝
×2
解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6 ∴P（6，﹣6）综上所述，点
P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为
m个单位长度后与矩形
ABCD有交点K、L
．
（4）设抛物线向右平移
∵KL平分矩形ABCD的面积
∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4 ∴K（m，0），L（2+m，0）连接AC，交KL于点H ∵S△ACD＝S四边形∴S△AHK＝S△CHL∵AK∥LC
ADLK
＝S矩形ABCD
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