上的一点，且BE?AC，延长BE交AC于F。求证：AF?EF。
AFEBDC
【例7】 （宁德市中考题）如图，?ABC中，D为BC边的中点，延长AD至E， 延长AB交CE的延长线于P。若AD?2DE，求证:AP?3AB。
ABDPEC
【巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图， ?ABC中，BC?a，若D1，E1分 别是AB，AC的中点，则D1E1?a；
?若D2、E2分别是D1B、E1C的中点，则D2E2????a??a； 2?2?413?7a?a若D3、E3分别是D2B、E2C的中点，则D3E3?????a；
2?4?8A121a3…………
若Dn、En分别是Dn-1B、En-1C的中点，则DnEn?_________.
D1D2D3DnBE1E2E3EnC
专题三、利用平行线转化比例
5
【例8】 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线l平行于BD，且 与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P. 求证：PM?PN?PR?PS
ABDlRSOCNPM
【巩固】已知，如图，四边形ABCD，两组对边延长后交于E、F，对角线BD∥EF，
AC的延长线交EF于G．求证：EG?GF．
ABCEDGF
【例9】 已知：P为?ABC的中位线MN上任意一点，BP、CP的延长线分别交对 边AC、AB于D、E，求证：
ADAE??1 DCEBAEMPBDNC
【例10】 在?ABC中，底边BC上的两点E、F把BC三等分，BM是AC上的中 线，AE、AF分别交BM于G、H两点，求证：BG:GH:HM?5:3:2
6
AMGBEHFC
【例11】 如图，M、N为?ABC边BC上的两点，且满足BM?MN?NC，一条 平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F. 求证：EF?3DE.
ADEBMFNC
【例12】 已知：如图，在梯形ABCD中，AB//CD，M是AB的中点，分别连 接AC、BD、MD、MC，且AC与MD交于点E，DB与MC交于F. （1）求证：EF//CD （2）若AB?a,CD?b，求EF的长.
AEMFBDC
【巩固】（山东省初中数学竞赛题）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，
AD?3，BC?9，AB?6,CD?4，若EF∥BC，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相
等，求EF的长。
7
ADEBFC
【例13】 （山东省竞赛题）如图，ABCD的对角线相交于点O，在AB的延 长线上任取一点E，连接OE交BC于点F，若AB?a，AD?c，BE?b,求BF的值。
DOFABEC
【例14】 已知等腰直角?ABC中，E、D分别为直角边BC、AC上的点，且 CE?CD，过E、D分别作AE的垂线，交斜边AB于L，K． 求证：BL?LK．
CEDBLKA
家庭作业 【习题1】 如已知DE∥AB，OA2?OC?OE，求证：AD∥BC.
8
CDOABE
【习题2】 在?ABC中，BD?CE，DE的延长线交BC的延长线于P，
A求证：AD?BP?AE?CP.
DBECP
【习题3】 如图，在?ABC的边AB上取一点D，在AC取一点E，使AD?AE， 直线DE和BC的延长线相交于P，求证：
BPBD ?CPCEADEBCP
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