第13题解图
14．2 【解析】如解图，连接DF、DE，∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，∴
DF∥CE，DE∥CF，∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∴EF＝CD＝2.
第14题解图
11
【一题多解】由三角形中位线的性质，可得EF＝AB，在Rt△ABC中，CD＝ AB，∴
22
CD＝EF＝2.
15．2a＋3b 【解析】∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∴∠ECA＝∠A＝36°，∴∠BEC＝∠A＋∠ECA＝72°，∴∠
BEC＝∠B，∴BC＝CE＝b，∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝2AB＋BC＝2(a＋b)＋b＝2a＋3b.
16．2∶1∶4 【解析】∵点D是AC的中点，DM∥BC，∴MD是△AEC的中位线，∴MD1
＝CE.∵AE是△ABC的中线，∴BE＝CE，∴BE＝2MD，∵MD∥BC，∴△DMG∽△BEG，∴MG∶2
EG＝MD∶EB＝1∶2，∴AM＝ME＝2MG，∴S△AMD＝2S△MDG，S△BGE＝4S△MDG，∴△AMD，△DMG，△BEG的面积比为2∶1∶4.
17．解：(1)∵∠A＝40°，∠B＝80°， ∴∠ACB＝60°， ∵CE是∠ACB的平分线，
1
∴∠ECB＝∠ACB＝30°，
2∵CD是AB边上的高， ∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝90°－∠B＝10°，
∴∠DCE＝∠ECB－∠BCD＝30°－10°＝20°； (2)∵∠A＝α，∠B＝β， ∴∠ACB＝180°－α－β， ∵CE是∠ACB的平分线，
11
∴∠ECB＝∠ACB＝(180°－α－β)，
22∵CD是AB边上的高， ∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝90°－∠B＝90°－β， 11
∴∠DCE＝∠ECB－∠BCD＝β－α.
22满分冲关
19
1．A 【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝9，D是AB的中点，∴CD＝AB＝，22
119393
∵CF＝CD，∴CF＝×＝，∴DF＝CD－CF＝－＝3，∵D是AB的中点，BE∥DF交AF332222的延长线于点E，∴BE＝2DF＝6.
2． 【解析】如解图，连接AO并延长，交BC于点H，由勾股定理得，DE＝OE＋OD
2
2
＝25 cm，∵BD和CE分别是边AC，AB上的中线，∴BC＝2DE＝45 cm，∵O是△ABC的
1
重心，∴AH是中线，又∵BD⊥CE，∴OH＝BC＝25 cm，∵O是△ABC的重心，∴AO＝2OH2＝45 cm.
第2题解图
m1
3．(2018)° 【解析】∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA22
1111
＝∠ACD，∵∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，即∠ACD＝∠A1＋∠ABC，∴∠A1＝(∠ACD－∠ABC)，2222
111
∵∠A＋∠ABC＝∠ACD，∴∠A＝∠ACD－∠ABC，∴∠A1＝∠A，∠A2＝∠A1＝2∠A，?，
222
1m
以此类推可知∠A2018＝2018∠A＝(2018)°，
22
1
4．(1)90°＋α；
2
【解法提示】∵∠A＝α，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－α，∵∠ABC和∠ACB的平分线交111
于点P，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠BPC＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝90°＋
222
1
α； 2
1
(2)∠BPC＝∠A；
2
理由如下：∵∠ACE是△ABC的外角，
∠PCE是△PBC的外角， ∴∠ACE＝∠ABC＋∠A， ∠PCE＝∠PBC＋∠BPC， ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE， 11
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠ACE，
22
11
∴∠ACE＝∠ABC＋∠BPC， 22
111
∴∠BPC＝∠AEC－∠ABC＝(∠ACE－∠ABC)，
222
1
∴∠BPC＝∠A，
2
1
(3)∠BPC＝90°－∠A.
2冲刺名校
1．解：(1)∵∠B＝30°，∠C＝50°， ∴∠CAB＝180°－∠B－∠C＝100°， ∵AE是△ABC的角平分线， 1
∴∠CAE＝∠CAB＝50°，
2∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°－∠C＝40°，
∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝50°－40°＝10°； (2)①72°－x°；
【解法提示】∵∠B＝x°，∠C＝(x＋36)°，AF平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAF， 1
∴∠CAE＝×[180°－x°－(x＋36)°]＝72°－x°；
2②∵∠AEC＝∠BAE＋∠B＝72°， ∵FD⊥BC，
∴∠F＝90°－72°＝18°.
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