东南大学固体物理基础课后习题解答

《电子工程物理基础》课后习题参考答案

第一章 微观粒子的状态

1-一维运动的粒子处在下面状态

?Axe??x?(x)???0?(x?0,??0)(x?0)

①将此项函数归一化；②求粒子坐标的概率分布函数；③在何处找到粒子的概率最大解：（1）由归一化条件，可知A2?0xe2?2?xdx?1，解得归一化常数A?2?。

323??2??x所以归一化波函数为：?(x)??2?xe?0?(x?0,??0)

(x?0)2?4?3x2e?2?x（2）粒子坐标的概率分布函数为：w(x)??(x)??0?（3）令

(x?0,??0)

(x?0)dw(x)11

?0得x?0或x?，根据题意，在x=0处，w(x)=0，所以在x?处找到粒

?dx?子的概率最大。

1-若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为n。 ①距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率是多少? ②n取何值时，在此范围内找到粒子的概率最大?

③当n→∞时，这个概率的极限是多少?这个结果说明了什么问题?

解：（1）假设一维无限深势阱的势函数为U（x），0?x?a，那么在距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率为：P(x)???(x)dx??a402a402n?211n?。 (sinx)dx??sinaa42n?211（2）当n=3时，在此范围内找到粒子的概率最大，且Pmax(x)?+。

46?（3）当n→∞时，P(x)?1。此时，概率分布均匀，接近于宏观情况。 41-

1一个势能为V(x)?m?2x2的线性谐振子处在下面状态

2?(x)?Ae?1?2x22(??m?)

1求：①归一化常数A；②在何处发现振子的概率最大；③势能平均值U?m?2x2。

2解：（1）由归一化条件，可知A2?e??xdx?1，得到归一化常数A?????22?。 4? 第 1 页 共 14 页

（2）振子的概率密度w(x)??(x)?率最大。

2???e?22x，由

dw(x)?0得到在x?0处振子出现的概dx??111m?212222??2x2（3）势能平均值U?m?x?m??xedx???。

??224?241-设质量为m的粒子在下列势阱中运动，求粒子的能级。

x?0??? V(x)??122m?xx?0??2解：注意到粒子在半势阱中运动，且为半谐振子。半谐振子与对称谐振子在x>0区域满足

同样的波动方程，但根据题意，在x<0区域，势函数为无穷，因此相应的波函数为零，从而破坏了偶宇称的状态。这样，半谐振子定态解则为谐振子的奇宇称解（仅归一化常数不同）。

??1?22?Hn(?)(??即?(x)??Ane?0?1-

m?x;x?0)，n?1,3,5?，E??n?1??,n?1,3,5n???2??(x?0)。

电子在原子大小的范围(～10-10m )内运动，试用不确定关系估计电子的最小能量。

，

p2es2解： 电子总能量E??，作近似代换，设?r~r，?p~p，由不确定关系?r?p~2mr222mes21?p2es211mes22mes4则E???(?2)?(?2)?2。所以电子的最小能量

2m?r2m?r2?r2m?r2Eminmes4??2，与薛定谔方程得到的氢原子基态能量表达式相同。

21-氢原子处在基态?(r,?,?)?1?a30e?ra0es2，求：①r的平均值；②势能?的平均值；③

r最概然半径。

解：（1）r的平均值：

r????0??02??01r?(r,?,?)rsin?d?d?dr?3?a022???00??2??0e?2ra0r3sin?d?d?dr?3a02es2（2）势能?的平均值：

rU????0??02?2??0es212??(r,?,?)r2sin?d?d?dr?3r?a02r??0?2?es2?a02es2?erdr?sin?d??d???00ra0r（3）在球壳r?r?dr的范围内，电子出现的概率为：

w(r)??由

0??02?1?a02?4?a022?(r,?,?)rsin?d?d??3er?sin?d??d??3er，

00?a0a022rdw(r)?0得在r?a0处电子出现的概率最大，即最概然半径为a0。 dr 第 2 页 共 14 页

1-

??作用，微扰矩阵元 设一体系未受微扰作用时，只有两个能级E01及E02，受到微扰H??H1?2?H?21?a,H?1?ba，b都是实数，用微扰公式求能级的二级修正值。 1H22。

??解：根据非简并微扰公式Ek?Ek?Hkk?H212(0)?n'?Hkk2(0)Ek(0)?En，有：

2E1?E(0)1???H11(0)E1(0)?E2?H21a2a2(0)??(0)?E01?b?，E2?E2?H22?E02?b?。E01?E02E2?E1(0)E02?E011-氢分子的振动频率是1.32×1014Hz，求在5000K时，下列两种情况下振动态上粒子占

据数之比。①n=0，n=1；②n=1，n=2。

1解：将氢分子的振动看作为谐振子，因此振子的能级为En?(n?)?。振动态上被粒子占

2?f0e据的概率服从麦克斯韦-玻尔兹曼分布，则当n=0，n=1 时，?E1=e?f1ek0T?E0k0TE0?E1k0T??ek0T ?3.55，

?fe当n=1，n=2时，1?E2=e?f2ek0T?E1k0TE1?E2k0T??ek0T?3.55。

1-求在室温下(k0T=0.025ev)电子处在费米能级以上0.1ev和费米能级以下0.1ev的概率各是多少?

解：由费米-狄拉克分布，电子处在费米能级以上0.1ev的概率f0.1?e1Ei?Efk0T=?11 ?1.8%，4e?1电子处在费米能级以下0.1ev的概率f-0.1?e1Ei?Efk0T=?11?98.2%。 e?4?1

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