d2U解：（1）原子间的弹性恢复力系数为?=d?2??aA2A1，带入色散关系即 ??sinqa；2aam2（2）对于一维简单晶格，在波矢q?q?dq中的振动模式数为2?模式密度?(?)?LNadq?dq，即 2??Nadq2A11。由（1）所得的色散关系为??sinqa??msinqa，
?d?am22即
d?A1a1a带入模式密度表达式整理后?cosqa??m1?sin2qa??m2??2，
dqm22222N1可得：?(?)???02??2?2L1；
22a??0??（3） 带入公式可得晶格比热CV???D0k(?kT)2e(e?/kT?/kT2L1d?。 222?1)a??m??2-9. 有人说，既然晶格独立振动频率?的数目是确定的(等于晶体的自由度数)。而??代表
一个声子。因此，对于一给定的晶体，它必拥有一定数目的声子。这种说法是否正确? 提示：不正确，因为声子是一种玻色子，其分布服从玻色-爱因斯坦分布，即n????1e??kT，
?1可知平均声子数与与温度有关，温度越高，平均声子数越多。
2-10. 应用德拜模型，计算一维、二维情况下晶格振动的频谱密度，德拜温度，晶格比热。 解：（1）在一维情况下，在波矢q?q?dq中的振动模式数为2?设v??DLdq。由于德拜模型假2??q，所以在????d?中振动模式数为?(?)d??LL即频谱密度?(?)?。d?，
?v?v且
?0?(?)d???DLN?v?N?，故德拜温度TD?。带入公?D?N，即?D?=?vLkLkL?D?2e?/kTk()d?。 式可得晶格比热CV??v?0kT(e?/kT?1)2（2）在二维情况下，在波矢q?q?dq中的振动模式数为2?S?2?qdq，由于德拜模2(2?)型假设v??q，所以在????d?中振动模式数为?(?)d??Sqd?，即频谱密度?v?(?)?
?DN?SqS?S?，故德拜温度?2，且??(?)d??2?D?2N，即?D?2v0S?v?v?v第 6 页 共 14 页
TD??Dk2v?k?DN??2e?/kTS?)d?。，代入公式可得晶格比热CV??k( ?/kT220SkT(e?1)2?v2-11. 简述绝缘体热导在以下三个温度范围内和温度的关系，并说明物理原因：
①T>>θD；②T<<θD；③介于①、②之间的温度。
答：①T>>θD时，此时热容CV不随温度变化，声子的平均自由程l近似反比于声子总数，因声子数n????1e??kT??11kT近似正比于T，故绝缘体的热导率反比于温度T，正比于； ??T②T<<θD时，此时声子的平均自由程不随温度变化，热容CV正比于温度T3，即绝缘体的热导率正比于温度T3；
③温度适中时，此时热容CV不随温度变化，发生U过程的声子数量n????1e??D2kT?e?1??D2T，
即绝缘体的热导率正比于e
??D2T。
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第三章 晶体中的大量电子
3-1. 按照经典的观点，在室温下，金属中每个电子对比热的贡献为点，如取EF?5eV，则为
3k0，按照量子论的观2k01，只为经典值的。试解释何以两者相差这么大。 4060提示：两种情况下电子服从的统计分布不同，量子论观点认为只有能量高于费米能的那些电
子对比热才有贡献。室温下TF>>T，大多数电子运动不自由，对热容的贡献很小，只有费米面附近约kT范围的电子对热容有显著贡献，故一般情况下电子气的热容很小。 3-2. 限制在边长为L的正方形中的N个自由电子。电子能量
E?kx,ky??(a) 求能量E到E?dE之间的状态数； (b) 求此二维系统在绝对零度的费米能量。
?k2m22x2?ky?
解：（a）在二维系统中，波矢k到k?dk中的状态数对应2?kdk圆环中包含的状态数。且在k空间中，二维点密度为
S4?2,每个状态可容纳自旋相反的两个电子，所以
22kdZSSdZdkSm，即g(E)?，所以能?2?2?2?k?k，由题可得E(k)??22mdk4??dkdE?mL2dE。 量E到E?dE之间的状态数dZ?g(E)dE??2（b）热力学零度时，系统总电子数N??0EF0f(E)g(E)dE??0EF0mL20g(E)dE?2EF，即
?N?2n?2NE??，其中表示单位面积内的电子数。 n?mL2mL20F3-3. 设有一金属样品，体积为10m，其电子可看作自由电子，试计算低于5ev的总的状态数。
E0E01V2m3V2mE0322(2)EdE?2(2)2， 22?3??53解：低于5ev的总的状态数N=?0g(E)dE??023其中E0?5ev，带入数据得低于5ev的总的状态数约为5.06?10。
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3-4. 在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成
C??2.08T?2.57T3??10?3J/mol?K
若一个摩尔的钾有N?6?10个电子，试求钾的费米温度TF和拜温度?D。
解：低温下金属的热容量由电子热容和晶格热容构成，且电子热容正比于T，晶格热容正比于T。所以有A?3
23?22NkT?2.08T?10?3，解得TF?1.965?104K， TF12?4TB?Nk()3?2.57T3?10?3，解得?D?91K。
5?D3-5. 一维周期场中电子波函数?k?x?应当满足布洛赫定理，若晶格常数是a，电子的波函数为如下，试求电子在这些状态的波矢。 （a）?k?x??sin?ax 3?x a（b）?k?x??icos（c）?k?x???i????f?x?la? （f是某个确定的函数）
解: （a）?k?x??eikxuk(x)，所以uk(x)?e?ikx?k?x?，且uk(x)?uk?x?a?, 则有e?ikx??sin??a????x??e?ik(x?a)sin?(x?a)?，所以e?ika??1。 ??a?，若仅考虑第一布里渊区内??ikx得k?2n?1?，n?0,?1,?2aikx?a?k??a，则k??a。
（b）?k?x??euk(x)，所以uk(x)?e则有e?ikx?k?x?，且uk(x)?uk?x?a?,
?3?icos??a??3??x??e?ik(x?a)icos?(x?a)?，所以e?ika??1。 ??a?，若仅考虑第一布里渊区内??ikx得k?2n?1?，n?0,?1,?2aikx?a?k??a，则k??a。
（c）?k?x??euk(x)，所以uk(x)?e则有e??ikx?k?x?，且uk(x)?uk?x?a?,
f?x??a?la?(i?k)ii????f??x??la?(ik?)xei??a????e?x??a???(?f1)?x，l所以a?e?ika?1，得k?
2n?，n?0,?1,?2a，若仅考虑第一布里渊区内??a?k??a，则k?0。
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03-6.证明，当k0T??EF时，电子数目每增加一个，则费米能变化
0?EF?1 0g(EF)其中g(EF)为费米能级的能态密度。
03?2N2()3。电子数目每增加一个，即费米能级的变化解：热力学零度时费米能级E?2mV20F222222??123?22)，?E?()3??N?1?3?N3?，且有?N?1?3?N3(1?)3?N3(1?N3N2mV??20F112m30202?g(E)?4?V(2)(EF)，带入后化简即可得?EF。 0g(EF)h0F3-7.试证明布洛赫函数不是动量的本征函数。
???p?即可，其中p?为动量算符，?为布洛赫函数。 提示：只要证明p????ik?r???i??作用在布洛赫函数上证明：布洛赫函数可以表示为?k?r??euk?r?，动量算符p??????????ik?rik?r得?i???k(r)??i??euk(r)??k?k(r)?i?e?uk(r)?p?k(r)，即布洛赫函数不
??是动量的本征函数。
3-8.电子在周期场中的势能
V?x??12m?2?b2??x?la?????????la?b?x?la?b???2
??????????0??????????????????????????????????????????l?1?a?b?x?la?b??式中，a?4b，?是常数。试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。
解：势能曲线如下图所示：
由势能曲线可知：V(x)是以a?4b为周期的周期函数，所以平均势能
la?b1T11112?12?2V?x???V(x)dx??m???b2??x?la??dx??m?2??2b3?b3??m?2b2?la?b?T0a2a23?6?
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