3-9.用近自由电子模型处理上题。求此晶体的第一个以及第二个禁带宽度。
解：由图可知：势能V(x)在周期(?2b,2b)上是偶函数，将其展开成傅立叶级数为
?n?V?x??V0??'Vncos??2bn12b??n?x?，其中Vn?V(x)cos?4b??2b??2b2?x?dx。即第一个禁带宽度 ?m?2Eg1?2V1?4bm?2Eg2?2V2?4bm?232b28m?2b2???，第二个禁带宽度x?dx??3?3??b(b?x)cos?4b???2b?b2??(b?x)cos???b?bb22m?24b2m?2b2?。 x?dx??2?24b???3-10. 在一维周期场中运动的电子，每一个状态k都存在一个与之简并的状态-k，为什么只在
n?附近才用简并微扰，而其它k值却不必用简并微扰处理呢? a2?n（n为整数）时，a提示：由非简并微扰计算可得，只有两个状态k之间必须满足k??k???0，才会对微扰解有贡献，否则适用于非兼并微扰。 Hkk3-11. 能带宽窄由什么因素决定?它与晶体所包含的原胞总数N有无关系?
3-12. 布里渊区的边界面一定是能量的不连续面吗?
提示：不一定。对于一维情况，布里渊区的边界面一定是能量的不连续面，但二维和三维则不一定。可能存在第一布里渊区在某个k方向上的能量最大值大于第二布里渊区另一方向上的能量最小值，使能带出现交叠，导致多个允带贯通，即很大范围内没有禁带，能级上都能填充电子。
3-13. 已知一维晶体的电子能带可写成
E?k??1?7??coska?cos2ka??
ma2?88?2其中a是晶格常数，试求：
（a）能带的宽度；
（b）电子在波矢k的状态时的速度； （c）能带底部和顶部电子的有效质量。
解：（a）首先求能量的最大值和最小值，由
dE(k)n??1??asinka?1?coska??0得k?。dka?2? 第 11 页 共 14 页
2?2当n为偶数时,E(k)min?0,当n为奇数时,E(k)max?，所以能带宽度?E? 2ma2?2?； ma2E(k)max?E(k)min（b）速度v(k)?1dE(k)??11???sinka(1?coska)； ?sinka?sin2ka???dkma?42?ma??2mn??（c）有效质量m?2,由（a）可知：能带底处有k?，n
dE(k)coska?1cos2kaa2dk2为偶数，代入上式得m?底?2m，能带顶处有k?n?2?，n为奇数，代入上式得m顶??m。 a33-14. 用紧束缚方法处理面心立方晶体的s态电子，若只计最近邻的相互作用，试导出能带
为
kaka?kaka?kakaE?k??E0?A?4J?cosxcosy?cosycosz?coszcosx?，
222222??并求能带底部电子的有效质量。
解：任取一个格点为原点，最近邻格点有12个，它们的位置坐标分别为：
aaaaaaaaaaaa（?,,0),（?,?,0),（?,0,),（?,0,?),（0,,?),（0,?,?)。
222222222222?ik?Rs带入紧束缚方法得到的能量式E(k)?Ei?J0??J(Rs)e,得到面心立方s态原子能
Rs=near级相对应的能带：
aaaaa?kx?ky??i??kx?ky??i?kx?ky??i??kx?ky??i?kx?kz??i??kx?kz????ia2?e2?e2?e2?e2?e2???eE(k)?E0?A?J?aaaaaa??i?kx?kz??i??kx?kz??i?ky?kz??i?ky?kz??i??ky?kz??i??ky?kz?2???e2?e2?e2?e2?e2?e?kyakyakyakaka??ikxa??ikya??ikza?ix??i?i?i?iz??22??22???e2?e2??e2?e2????????e?e??e?e??????????????E0?A?4J??kxakxakzakzai?ii?i??????2?2??22?e?ee?e?????????????E0?A?4J(coskakakxakakakacosy?cosxcosz?cosycosz) 222222由能带的表示式及余弦函数的性质可知,当kx?ky?kz?0时,Es取最小值,即在能带底
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?2kx?ky?kz?0，电子的有效质量m?2?E(k)?kx2?x?2?2??2，同理可得：my?2，
2aJ2aJk?0?2?2?m?2，即m?2。
2aJ2aJ?z3-15. 紧束缚方法导出体心立方晶体s态电子的能带
ka?kaka?E?k??E0?A?8J?cosxcosycosz?
222??试画出沿kx方向（ky?kz?0）E?kx?和v?kx?的曲线。
解：（1）任取一个格点为原点，最近邻格点有8个，它们的位置坐标分别为：（?带入紧束缚方法得到的能量式E(k)?Ei?J0?级相对应的能带：
aaa?kx?ky?kz?i?kx?ky?kz?i?kx?ky?kz?i?kx?ky?kz??ia?2222e?e?e?e???E(k)?E0?A?J?aaaa? ?i?kx?ky?kz??i?kx?ky?kz??i?kx?ky?kz??i?kx?ky?kz?2???e2?e2?e2?e?aaa,?,?）。 222Rs=near?J(Rs)e?ik?Rs,得到体心立方s态原子能
kyakyakakaxa??ikza?ix??i?i?iz??ik22??22??22??E0?A?8J?e?ee?ee?e????????????kya?kxakza???E0?A?8J?coscoscos??222??沿kx方向（ky?kz?0），能量E?kx??E0?A?8Jcos最小值Emin?E0?A?8J，速度v?kx??
kxa，最大值Emax?E0?A?8J，2ka1?E(k)4Ja?sinx，曲线略。 ?kx23-16.用图示法表示出金属，绝缘体，本征半导体的能带填充情况。画出费米能级的位置。
并注明能隙的经典数据。 解：
金属或导体的能带中一定有不满带，价带是满带，导带是半满带，费米能级在导带中； 绝缘体中的能带只有满带和空带，价带是满带，导带是空带，禁带很宽，费米能级在禁带中央；
半导体和绝缘体相似，能带中只有满带和空带，但禁带较窄，费米能级仍在禁带中央。 各能带示意如下图所示：
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3-17.为何引入密度泛函理论处理能带问题，有何优点？
解：密度泛函理论直接用概率密度n(x)而不是波函数来描述电子运动，其基本量n具有直观的电子云密度的含义，以密度n为自变量进行数值分析能得到真实的密度解。
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