2016年暑假五年级奥数第三讲（教师版）
长方体与正方体涂色与三视图
一、表面涂色问题：
对于棱长大于2的长方体和正方体，表面涂色后切成小正方体： 三面涂红色的在顶点处 两面涂红色的在棱长处
一面涂红的表面中间部分
每面都没涂色的只有正方体体内。
三视图：是指观测者从上面、左面、正面三个不同角度观察同一个空间几何体而画出的图形
【例 1】右图是3?3?3正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？
【解析】 三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；
两面涂红色的在棱长处，共(3?2)?4?(3?2)?4?(3?2)?4?12块； 【答案】8, 12
【巩固】右图是4?5?6正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？
两面涂红色的在棱长处，共(4?2)?4?(5?2)?4?(6?2)?4?36块； 【答案】8, 36
【解析】 三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；
【例 2】右图是3?3?3正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面被涂成红色和未被涂色的小正方体各有多
少块？
一面涂红的表面中间部分：(3?2)?(3?2)?2?(3?2)?(3?2)?2?(3?2)?(3?2)?2?6块． 六面都没涂色的只有正方体内的小方块：(3?2)?(3?2?(3?2)?1块 【答案】6, 1
【巩固】右图是4?5?6正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？
【解析】 一面涂红的表面中间部分：(4?2)?(5?2)?2?(4?2)?(6?2)?2?(5?2)?(6?2)?2?52块．
六面都没涂色的只有正方体内的小方块：(4?2)?(5?2)?(6?2)?1块
【例 3】将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形 只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？
【解析】 长：3?1?1?5厘米；宽：1?1?1?3厘米；高：1?1?1?3厘米；
所以原长方体的表面积是：（3?5?3?5?3?3）3?2?78平方厘米． 【答案】78
【巩固】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切_______次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块．
【解析】 沿着长边等距离切5刀，可切为5?1?6块；沿着宽边等距离切4刀，可切为4?1?5块；沿着高边等距离 切n刀，可切为n?1块．由题意可知，长方体每一个面的外层是涂有1面(或2面、或3面)的小方块，所以，各面均没有红色的小方块共(6?2)?(5?2)?n(??12)?12(n?12(n?1)?24，解得n?3． 【答案】3
个，因各面均没有红色的小方块为24块，所以，1)【例 4】右图是1?1?5长方体，如果将其表面涂成红色，再切成5个小正方体，那么各个正方体有几面被涂成红色？
【解析】 两端的正方体有5面，中间的正方体有4面； 【答案】两端的正方体有5面，中间的正方体有4面；
【巩固】右图是2?2?5长方体，如果将其表面涂成红色，再切成20个小正方体，共有几种不同的涂色情况？
【解析】 共有两种不同的染色情况：顶角上的8个正方体有3面，棱上的12个正方体有2面； 【解析】 共有两种不同的染色情况：顶角上的8个正方体有3面，棱上的12个正方体有2面
【例 5】右图是1?2?5长方体，如果将其表面涂成红色，再切成10个小正方体，共有几种不同的涂色情况？
【解析】 共有两种不同的染色情况：两端的4个正方体有4面，中间的6个正方体有3面； 【解析】 共有两种不同的染色情况：两端的4个正方体有4面，中间的6个正方体有3面；
【巩固】将长为5，宽为3，高为1的长方体木块的表面涂上漆，再切成15块棱长为1的小正方体。则三个面涂漆的小正方体有________块。
【解析】 因为只有1层，故有三个面涂漆的小正方体位于棱上，共有8块。 【答案】8块
【例 6】小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体（如图2）。从上体上面看这个立方体，看到的图形是图①～
③中的 。（填序号）
①
②
③
2007年，第五届希望杯，5年级初赛，第9题，6分 【答案】③
【巩固】小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体（如图2）。从右侧面看这个立方体，看到的图形是图 。
A
B
C
D
【答案】B
【例 7】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图，请画出从正面、上面和右面看到的图形
【解析】
正视图
上视图
右视图
【巩固】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图，请画出从上面和正面看到的图形
【解析】 如下：
图a（从上向下看）
图b（从正面看）
【例 8】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如下图a，从正面看这个立体，如下 图b，则这个形体最多由_______个小正方体构成。
图a（从上向下看）
图b（从正面看）
【解析】 从上往下看，图中数字为每一格的木块数：
22221211
可知，最多由13块正方体构成 【答案】13
【巩固】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如下图a，从正面看这个立体，如下图b，则这个形体最少由________个小正方体构成。
图a（从上向下看）
图b（从正面看）
【解析】 从上往下看，图中数字为每一格的木块数：
12121211
可知，最少由11块正方体构成 【答案】11
【例 9】小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如左下图，从侧面看如右下图，那么他最 多用了________块木块.
323111222323
【解析】 从上往下看，分别如左下图和右下图所示(图中数字为每一格的木块数)。 【答案】最多25
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