2016年暑假五年级奥数第三讲 几何 长方体与正方体涂色与三视图（A级）. 教师版

2016年暑假五年级奥数第三讲（教师版）

长方体与正方体涂色与三视图

一、表面涂色问题：

对于棱长大于2的长方体和正方体，表面涂色后切成小正方体： 三面涂红色的在顶点处 两面涂红色的在棱长处

一面涂红的表面中间部分

每面都没涂色的只有正方体体内。

三视图：是指观测者从上面、左面、正面三个不同角度观察同一个空间几何体而画出的图形

【例 1】右图是3?3?3正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？

【解析】 三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；

两面涂红色的在棱长处，共(3?2)?4?(3?2)?4?(3?2)?4?12块； 【答案】8, 12

【巩固】右图是4?5?6正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？

两面涂红色的在棱长处，共(4?2)?4?(5?2)?4?(6?2)?4?36块； 【答案】8, 36

【解析】 三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；

【例 2】右图是3?3?3正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面被涂成红色和未被涂色的小正方体各有多

少块？

一面涂红的表面中间部分：(3?2)?(3?2)?2?(3?2)?(3?2)?2?(3?2)?(3?2)?2?6块． 六面都没涂色的只有正方体内的小方块：(3?2)?(3?2?(3?2)?1块 【答案】6, 1

【巩固】右图是4?5?6正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？

【解析】 一面涂红的表面中间部分：(4?2)?(5?2)?2?(4?2)?(6?2)?2?(5?2)?(6?2)?2?52块．

六面都没涂色的只有正方体内的小方块：(4?2)?(5?2)?(6?2)?1块

【例 3】将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形 只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？

【解析】 长：3?1?1?5厘米；宽：1?1?1?3厘米；高：1?1?1?3厘米；

所以原长方体的表面积是：（3?5?3?5?3?3）3?2?78平方厘米． 【答案】78

【巩固】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切_______次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块．

【解析】 沿着长边等距离切5刀，可切为5?1?6块；沿着宽边等距离切4刀，可切为4?1?5块；沿着高边等距离 切n刀，可切为n?1块．由题意可知，长方体每一个面的外层是涂有1面(或2面、或3面)的小方块，所以，各面均没有红色的小方块共(6?2)?(5?2)?n(??12)?12(n?12(n?1)?24，解得n?3． 【答案】3

个，因各面均没有红色的小方块为24块，所以，1)【例 4】右图是1?1?5长方体，如果将其表面涂成红色，再切成5个小正方体，那么各个正方体有几面被涂成红色？

【解析】 两端的正方体有5面，中间的正方体有4面； 【答案】两端的正方体有5面，中间的正方体有4面；

【巩固】右图是2?2?5长方体，如果将其表面涂成红色，再切成20个小正方体，共有几种不同的涂色情况？

【解析】 共有两种不同的染色情况：顶角上的8个正方体有3面，棱上的12个正方体有2面； 【解析】 共有两种不同的染色情况：顶角上的8个正方体有3面，棱上的12个正方体有2面

【例 5】右图是1?2?5长方体，如果将其表面涂成红色，再切成10个小正方体，共有几种不同的涂色情况？

【解析】 共有两种不同的染色情况：两端的4个正方体有4面，中间的6个正方体有3面； 【解析】 共有两种不同的染色情况：两端的4个正方体有4面，中间的6个正方体有3面；

【巩固】将长为5，宽为3，高为1的长方体木块的表面涂上漆，再切成15块棱长为1的小正方体。则三个面涂漆的小正方体有________块。

【解析】 因为只有1层，故有三个面涂漆的小正方体位于棱上，共有8块。 【答案】8块

【例 6】小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体（如图2）。从上体上面看这个立方体，看到的图形是图①～

③中的 。（填序号）

①

②

③

2007年，第五届希望杯，5年级初赛，第9题，6分 【答案】③

【巩固】小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体（如图2）。从右侧面看这个立方体，看到的图形是图 。

A

B

C

D

【答案】B

【例 7】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图，请画出从正面、上面和右面看到的图形

【解析】

正视图

上视图

右视图

【巩固】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图，请画出从上面和正面看到的图形

【解析】 如下：

图a（从上向下看）

图b（从正面看）

【例 8】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如下图a，从正面看这个立体，如下 图b，则这个形体最多由_______个小正方体构成。

图a（从上向下看）

图b（从正面看）

【解析】 从上往下看，图中数字为每一格的木块数：

22221211

可知，最多由13块正方体构成 【答案】13

【巩固】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如下图a，从正面看这个立体，如下图b，则这个形体最少由________个小正方体构成。

图a（从上向下看）

图b（从正面看）

【解析】 从上往下看，图中数字为每一格的木块数：

12121211

可知，最少由11块正方体构成 【答案】11

【例 9】小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如左下图，从侧面看如右下图，那么他最 多用了________块木块.

323111222323

【解析】 从上往下看，分别如左下图和右下图所示(图中数字为每一格的木块数)。 【答案】最多25