2016年暑假五年级奥数第三讲(教师版)
长方体与正方体涂色与三视图
一、表面涂色问题:
对于棱长大于2的长方体和正方体,表面涂色后切成小正方体: 三面涂红色的在顶点处 两面涂红色的在棱长处
一面涂红的表面中间部分
每面都没涂色的只有正方体体内。
三视图:是指观测者从上面、左面、正面三个不同角度观察同一个空间几何体而画出的图形
【例 1】右图是3?3?3正方体,如果将其表面涂成红色,那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块?
【解析】 三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体;
两面涂红色的在棱长处,共(3?2)?4?(3?2)?4?(3?2)?4?12块; 【答案】8, 12
【巩固】右图是4?5?6正方体,如果将其表面涂成红色,那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块?
两面涂红色的在棱长处,共(4?2)?4?(5?2)?4?(6?2)?4?36块; 【答案】8, 36
【解析】 三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体;
【例 2】右图是3?3?3正方体,如果将其表面涂成红色,那么其中一面被涂成红色和未被涂色的小正方体各有多
少块?
一面涂红的表面中间部分:(3?2)?(3?2)?2?(3?2)?(3?2)?2?(3?2)?(3?2)?2?6块. 六面都没涂色的只有正方体内的小方块:(3?2)?(3?2?(3?2)?1块 【答案】6, 1
【巩固】右图是4?5?6正方体,如果将其表面涂成红色,那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块?
【解析】 一面涂红的表面中间部分:(4?2)?(5?2)?2?(4?2)?(6?2)?2?(5?2)?(6?2)?2?52块.
六面都没涂色的只有正方体内的小方块:(4?2)?(5?2)?(6?2)?1块
【例 3】将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体,其中一面都没有红色的小正方形 只有3个,求原来长方体的表面积是多少平方厘米?
【解析】 长:3?1?1?5厘米;宽:1?1?1?3厘米;高:1?1?1?3厘米;
所以原长方体的表面积是:(3?5?3?5?3?3)3?2?78平方厘米. 【答案】78
【巩固】一个长方体,六个面均涂有红色,沿着长边等距离切5刀,沿着宽边等距离切4刀,沿着高边等距离切_______次后,要使各面上均没有红色的小方块为24块.
【解析】 沿着长边等距离切5刀,可切为5?1?6块;沿着宽边等距离切4刀,可切为4?1?5块;沿着高边等距离 切n刀,可切为n?1块.由题意可知,长方体每一个面的外层是涂有1面(或2面、或3面)的小方块,所以,各面均没有红色的小方块共(6?2)?(5?2)?n(??12)?12(n?12(n?1)?24,解得n?3. 【答案】3
个,因各面均没有红色的小方块为24块,所以,1)【例 4】右图是1?1?5长方体,如果将其表面涂成红色,再切成5个小正方体,那么各个正方体有几面被涂成红色?
【解析】 两端的正方体有5面,中间的正方体有4面; 【答案】两端的正方体有5面,中间的正方体有4面;
【巩固】右图是2?2?5长方体,如果将其表面涂成红色,再切成20个小正方体,共有几种不同的涂色情况?
【解析】 共有两种不同的染色情况:顶角上的8个正方体有3面,棱上的12个正方体有2面; 【解析】 共有两种不同的染色情况:顶角上的8个正方体有3面,棱上的12个正方体有2面
【例 5】右图是1?2?5长方体,如果将其表面涂成红色,再切成10个小正方体,共有几种不同的涂色情况?
【解析】 共有两种不同的染色情况:两端的4个正方体有4面,中间的6个正方体有3面; 【解析】 共有两种不同的染色情况:两端的4个正方体有4面,中间的6个正方体有3面;
【巩固】将长为5,宽为3,高为1的长方体木块的表面涂上漆,再切成15块棱长为1的小正方体。则三个面涂漆的小正方体有________块。
【解析】 因为只有1层,故有三个面涂漆的小正方体位于棱上,共有8块。 【答案】8块
【例 6】小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体(如图2)。从上体上面看这个立方体,看到的图形是图①~
③中的 。(填序号)
①
②
③
2007年,第五届希望杯,5年级初赛,第9题,6分 【答案】③
【巩固】小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体(如图2)。从右侧面看这个立方体,看到的图形是图 。
A
B
C
D
【答案】B
【例 7】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图,请画出从正面、上面和右面看到的图形
【解析】
正视图
上视图
右视图
【巩固】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图,请画出从上面和正面看到的图形
【解析】 如下:
图a(从上向下看)
图b(从正面看)
【例 8】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体,从上向下看这个立体,如下图a,从正面看这个立体,如下 图b,则这个形体最多由_______个小正方体构成。
图a(从上向下看)
图b(从正面看)
【解析】 从上往下看,图中数字为每一格的木块数:
22221211
可知,最多由13块正方体构成 【答案】13
【巩固】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体,从上向下看这个立体,如下图a,从正面看这个立体,如下图b,则这个形体最少由________个小正方体构成。
图a(从上向下看)
图b(从正面看)
【解析】 从上往下看,图中数字为每一格的木块数:
12121211
可知,最少由11块正方体构成 【答案】11
【例 9】小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块,摆完后从正面看如左下图,从侧面看如右下图,那么他最 多用了________块木块.
323111222323
【解析】 从上往下看,分别如左下图和右下图所示(图中数字为每一格的木块数)。 【答案】最多25
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