2015年高考真题理科数学（解析版） 新课标I卷
2015年普通高等学校招生全国统一考试新课标I卷
数学（理科）
一．选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。 1．设复数z满足
001?z?i，则|z|?( ) （A）1 （B）2 （C）3 （D）2 1?z002．sin20cos10?cos160sin10?( ) （A）?1133（B）（C）?（D）
22223．设命题p：?n?N，n2?2n，则?p为( ) （A）?n?N，n2?2n （B）?n?N，n2?2n （C）?n?N，n2?2n （D）?n?N，n2?2n 4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的
概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312
x2?y2?1上的一点，F1,F2是C的两个焦点，若5．已知M?x0,y0?是双曲线C：2??????????MF1?MF2?0，则y0的取值范围是( ) （A）?33,33 （B）?36,36
????（C）?223,223 （D）?233,233
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图），米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有( )
（A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛
?????????4????????????1???7．设D为?ABC所在平面内一点BC?3CD，则（ ） （A）AD??AB?AC
33????1????4????????4????1????????4????1????AD?AB?ACAD?AB?ACAD?AB?AC （B） （C） （D）
333333 8．函数f?x??cos??x???的部分图像如图所示，则f?x?的单调递减区间为（ ）
1y154x（A）?k????13?,k????k?Z? 44?4O - 1 - / 7
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（B）?2k????13?,2k????k?Z? 44?（C）?k???13?,k???k?Z? 44?13?,2k???k?Z? 44?（D）?2k???9．执行右面的程序框图，如果输入的t?0.01，则输出的
n? ( ) （A）5 （B）6 （C）7 （D）8
10．x?x?y的展开式中，x5y2的系数为( ) （A）10 （B）20 （C）30 （D）60
11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16?20?，则r?（ ） （A）1 （B）2 （C）4 （D）8
12．设函数f?x??ex?2?52r?2x?1??ax?a，其中a?1，若存在唯
r正视图r一的整数x0，使得f?x0??0，则a的取值范围是( ) （A）???3??33??33??3?（B）??（C）?,? （D）?,1? ,1? ,?
?2e??2e4??2e4??2e?二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．若函数f?x??xlnx?a?x2为偶函数，则a?______。
??2rx2y2??1的三个顶点，且圆心在x轴上， 14．一个圆经过椭圆
164则该圆的标准方程为_____________。
俯视图?x?1?0y?15．若x,y满足约束条件?x?y?0，则的最大值为__________。
x?x?y?4?0?0 16．在平面四边形ABCD中，已知?A??B??C?75，BC?2，则AB的取值范
围是___________。
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2 17．（本小题满分12分）Sn为数列?an?的前n项和，已知an?0，an?2an?4Sn?3。
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⑴求?an?的通项公式；⑵设bn?1，求数列?bn?anan?1ABEF的前n项和。 18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为菱形，?ABC?120，E,F是平面ABCD同侧两点，
0DCBE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE?2DF，
AE?EC。⑴证明：平面AEC⊥平面AFC；⑵求直线AE与直线CF所成角的余弦值。
19．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi?i?1,2,?,8?数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计
x y w ??x?x?ii?182 ??w?w?ii?182 ??x?x??y?y? ??w?w??y?y? ii88iii?1i?146.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 18量的值。表中wi?xi，w??wi。⑴根据散点图判断，y?a?bx与y?c?dx哪一8i?1个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；⑵根据⑴的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；⑶已知这种产品的年利率z与
x,y的关系为z?0.2y?x。根据⑵的结果回答下列问题：①年宣传费x?49时，年销售量及
年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？（附：对于一组数据
?u1,v1?,?u2,v2?,?,?un,vn?，其回归线v????u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
?=???u?u??v?v?iii?1n??i?1nui?u?2?=v???u） ，?x2y? 20．（本小题满分12分) 在直角坐标系xOy中，曲线C：与直线y?kx?a?a?0?4交于M,N两点。⑴当k?0时，分别求C在点M和N处的切线方程；⑵y轴上是否存在点
P，使得当k变动时，总有?OPM??OPN？说明理由。
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21．（本小题满分12分）已知函数f?x??x?ax?31，g?x???lnx。⑴当a为何值4时，x轴为曲线y?f?x?的切线；⑵用min?m,n?表示m,n中的最小值，设函数
h?x??min?f?x?,g?x???x?0? ，讨论h?x?零点的个数。
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。
C 22．（本小题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，ACEEDOBCOAC是⊙的切线，交⊙于。⑴若为的中点，证
CB的大小。明：DE是⊙O的切线；⑵若OA?3CE，求?A
23．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：
DAOBx??2，圆C2：?x?1???y?2??1。以坐标原点为极点，
22x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。⑴求C1，C2的极坐标方程；⑵若直线C3的极坐标方程
为???4???R?，设C2与C3的交点为M,N，求?C2MN的面积。
24．（本小题满分10分）已知函数f?x??|x?1|?2|x?a|?a?0?。⑴当a?1时，求不等式f?x??1的解集；⑵若f?x?的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围。
2015年普通高校招生全国统考数学试卷新课标I卷解答
一．ADCAA BADCC BD
23?25?二．13．1；14．?x???y2?；15．3；16．
2?4??6?2,6?2
?2 17．解：⑴由题a1?2a1?4S1?3?4a1?3，因为an?0，所以a1?3。当n?2时，22an?2an?an?1?2an?1?4an，即?an?an?1??an?an?1??2?an?an?1?，因为an?0，所以
an?an?1?2，所以数列?an?是首项为3，公差为2的等差数列，所以an?2n?1；
⑵由⑴得bn?1?11?????，所以数列?bn?的前n项和为
?2n?1??2n?3?2?2n?12n?3?1b1?b2???bn? - 4 - / 7
1??11??11?1??11?1。 ?????????????????2??35??57??2n?12n?3??64n?62015年高考真题理科数学（解析版） 新课标I卷
18．解：⑴连BD，设BD?AC?G，连EG,FG,EF。在菱形ABCD中，设GB?1，易得AG?GC?3。由BE?平面ABCD，
zEFAB?BC可知AE?EC。又AE?EC，故
EG?3，EG?AC。在Rt?EBG中，可得BE?2，故DF?22。在Rt?FDG中，可得
AGxBDCyFG?62。在直角梯形BDFE中，易得
EF?322，故EG2?FG2?EF2，因此EG?FG。又FG?AC?G，故EG?平面
AFC。因EG?平面AEC，故平面AEC?平面AFC；
????????????⑵如图，以G为坐标原点，分别以GB,GC的方向为x,y轴正方向，|GB|为单位长度，
建立空间直角坐标系G?xyz。由⑴可得A0,?3,0，E1,0,2，F?1,0,22，
??????????C0,3,0，故AE?1,3,2，CF??1,?3,???????22?，因此
??????????????????3AE?CF3???????。所以直线AE与CF所成的角的余弦值为。 cosAE,CF????33|AE||CF|19．解：⑴由散点图可以判断，y?c?dx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型；
?=⑵令w?x，先建立y关于w的回归方程。因d??w?w??y?y?iii?18??i?18wi?w?2?108.8?68，16??y?dw??563?68?6.8?100.6，所以y关于x的回归方程为?故cy?100.6?68x；
⑶①由⑵知，当x?49时，年销售量y的预报值?y?100.6?6849?576.6，年利润z
??576.6?0.2?49?66.32； 的预报值z??0.2100.6?68x?x??x?13.6x?20.12，当②由⑵知，年利润z的预报值z???取得最大值。故宣传费用为46.24千元时，年利润预报值最大。 x?6.8即x?46.24时，z20．解：⑴由题设可得M2a,a，N?2a,a，或M?2a,a，N2a,a。
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