2016-2017学年河北省石家庄市高一（下）期末数学试卷
1．直线y=x+1的倾斜角为（ ）
A．1 B．﹣1
C．
D．
2．若实数a、b满足条件a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．＜ B．a2＞b2
C．ab＞b2
D．a3＞b3
3．点P（1，2）到直线x﹣2y+5=0的距离为（ ）
A． B．
C．
D．
4．在数列{an}中，a1=1，an?an﹣1=an﹣1+（﹣1）n（n≥2，n∈N*），则a3的值是（ ）
A． B． C． D．1
5．直线a与平面α不垂直，则下列说法正确的是（ ） A．平面α内有无数条直线与直线a垂直 B．平面α内有任意一条直线与直线a不垂直 C．平面α内有且只有一条直线与直线a垂直 D．平面α内可以找到两条相交直线与直线a垂直
6．公比不为1的等比数列{an}满足a5a6+a4a7=8，若a2?am=4，则m的值为（ ）
A．8 B．9
C．10 D．11
7．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AC与C1D所成的角为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
9．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若2acosB=c，则该三角形一定是（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 10．《九章算术》中，将底面是直角三角形，且侧棱与底面垂直的三棱柱称之为“堑堵”，
已知某“堑堵”的三视图如图所示（网格纸上正方形的边长为1），则该“堑堵”的表面积为（ ） A．8
B．16+8
C．16+16
D．24+16
11．设定点A（3，1），B是x轴上的动点，C是直线y=x上的动点，则△ABC周长的最小值是（ ） A．
B．2
C．3
D．
12．[普通高中]已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且
=，则
的值为（ ）
A．2 B．
C．4
D．5
13．[示范高中]若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2017积数列”，且a1＞1，则当其前n项的乘积取最大值时n的值为（ ）
A．1008
B．1009 C．1007或1008 D．1008或1009
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）
14．已知直线l的斜率为2，且在y轴上的截距为1，则直线l的方程为 ． 15．△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=5，c=7，则角C的大小为 ．
16．正方体的各项点都在同一个球的球面上，若该正方体的体积为8cm3，则其外接球的表面积为 cm2．
17．已知a＞0，b＞0，a+2b=3，则+的最小值为 ．
18．[示范高中]设x＞y＞z，且+＞
（n∈N*）恒成立，则n的最大值为 ．
三、解答题（共6小题，满分70分）
19．已知等差数列{an}满足a3=3，前6项和为21．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=3
，求数列{bn}的前n项和Tn．
20．已知△ABC的顶点A（2，4），∠ABC的角平分线BM所在的直线方程为y=0，AC边上的高BH所在的直线方程为2x+3y+12=0．（1）求AC所在的直线方程； （2）求顶点C的坐标．
21．如图，要测量河对岸A、B两点之间的距离，选取相距
km的C、D两点，并测得
∠ACB=75°．∠BCD=∠ADB=45°，∠ADC=30°，请利用所测数据计算A、B之间的距离．
22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，E为PD的中点．
（1）求证：PB∥平面AEC；（2）若PA⊥平面ABCD，PA=AD，求证：平面AEC⊥平面PCD．
23．已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且csinA=
acosC．
（1）求角C的大小； （2）若c=2，求△ABC的面积的最大值．
24．已知函数g（x）=x2+bx+c，且关于x的不等式g（x）＜0的解集为（﹣，0）．
（1）求实数b，c的值；（2）若不等式0≤g（x）﹣＜对于任意n∈N*
恒成立，求满足
条件的实数x的值．
附加题（共1小题，满分10分）
25．已知圆C的圆心在直线4x+y=0上，且与直线x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）． （1）求圆C的方程；
（2）过圆内一点P（2，﹣3）的直线l与圆交于A、B两点，求弦长AB的最小值．
2016-2017学年河北省石家庄市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共13小题，每小题5分，满分60分） 1．直线y=x+1的倾斜角为（ ） A．1
B．﹣1 C．
D．
【考点】I2：直线的倾斜角．
【分析】根据题意，设直线y=x+1的倾斜角为θ，由直线的方程可得其斜率k，则有tanθ=1，结合θ的范围即可得答案．
【解答】解：根据题意，设直线y=x+1的倾斜角为θ， 直线的方程为：y=x+1， 其斜率k=1，则有tanθ=1， 又由0≤θ＜π， 则θ=
，
故选：C．
2．若实数a、b满足条件a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ） A．＜ B．a2＞b2 C．ab＞b2 D．a3＞b3 【考点】R3：不等式的基本性质．
【分析】根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A、a=1，b=﹣1时，有＞成立，故A错误； 对于B、a=1，b=﹣2时，有a2＜b2成立，故B错误； 对于C、a=1，b=﹣2时，有ab＜b2成立，故C错误；
对于D、由不等式的性质分析可得若a＞b，必有a3＞b3成立，则D正确；
故选：D．
3．点P（1，2）到直线x﹣2y+5=0的距离为（ ） A． B．
C．
D．
【考点】IT：点到直线的距离公式．
【分析】根据题意，由点到直线的距离公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，点P（1，2）到直线x﹣2y+5=0的距离d==
，
故选：C．
4．在数列{an}中，a1=1，an?an﹣1=an﹣1+（﹣1）n（n≥2，n∈N*），则a3的值是（ ） A． B． C． D．1 【考点】8H：数列递推式．
【分析】由已知得a2?1=a1+（﹣1）2=1+1=2，从而得到a2=2，从而能求出a3． 【解答】解：∵在数列{an}中，a1=1，an?an﹣1=an﹣1+（﹣1）n（n≥2，n∈N*）， ∴a2?1=a1+（﹣1）2=1+1=2，解得a2=2， a3×2=a2+（﹣1）3=2﹣1=1． 故选：D．
5．直线a与平面α不垂直，则下列说法正确的是（ ） A．平面α内有无数条直线与直线a垂直 B．平面α内有任意一条直线与直线a不垂直 C．平面α内有且只有一条直线与直线a垂直 D．平面α内可以找到两条相交直线与直线a垂直 【考点】LJ：平面的基本性质及推论．
【分析】由直线a与平面α不垂直，知：平面α内有无数条平行直线与直线a垂直，平
面α内没有两条相交直线与直线a垂直． 【解答】解：由直线a与平面α不垂直，知：
在A中，平面α内有无数条平行直线与直线a垂直，故A正确； 在B中，平面α内有无数条平行直线与直线a垂直，故B错误； 在C中，平面α内有无数条平行直线与直线a垂直，故C错误； 在D中，平面α内没有两条相交直线与直线a垂直，故D错误． 故选：A．
6．公比不为1的等比数列{an}满足a5a6+a4a7=8，若a2?am=4，则m的值为（ ） A．8
B．9
C．10 D．11
【考点】88：等比数列的通项公式．
【分析】由等比数列通项公式得a5a6=a4a7=4，由此利用a2?am=4，得到2+m=5+6=11，从而能求出m的值．
【解答】解：∵公比不为1的等比数列{an}满足a5a6+a4a7=8， ∴a5a6=a4a7=4，
∵a2?am=4，∴2+m=5+6=11， 解得m=9． 故选：B．
7．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AC与C1D所成的角为（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与C1D所成的角．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，
则A（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），C1（0，1，1）， =（﹣1，1，0），
=（0，﹣1，﹣1），
设异面直线AC与C1D所成的角为θ， 则cosθ=|cos＜＞|=
=
=，
∴θ=
．
∴异面直线AC与C1D所成的角为．
故选：B．
8．若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（ ）
A．0
B．1
C． D．2
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值． 【解答】解：作出不等式组
表示的平面区域，
当l经过点B时，目标函数z达到最大值 ∴z最大值=0+2×1=2． 故选：D．
9．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若2acosB=c，则该三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【考点】HP：正弦定理．
【分析】由题中条件并利用正弦定理可得 2sinAcosB=sinC，转化为sin（A﹣B）=0；再根据A﹣B的范围，可得A=B，从而得出选项．
【解答】解：∵c=2acosB，由正弦定理可得 sinC=2sinAcosB， ∴sin（A+C）=2sinAcosB， 可得sin（A﹣B）=0． 又﹣π＜A﹣B＜π， ∴A﹣B=0．
故△ABC的形状是等腰三角形， 故选：A．
10．《九章算术》中，将底面是直角三角形，且侧棱与底面垂直的三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示（网格纸上正方形的边长为1），则该“堑堵”的表面积为（ ）
A．8 B．16+8 C．16+16 D．24+16
【考点】L7：简单空间图形的三视图．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，代入棱柱表面积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱， 底面面积为：×4×2=4， 底面周长为：4+2×2=4+4
，
侧面积为：4×（4+4
）=16+16
故棱柱的表面积S=2×4+16+16=24+16，
故选：D
11．设定点A（3，1），B是x轴上的动点，C是直线y=x上的动点，则△ABC周长的最小值是（ ） A．
B．2
C．3
D．
【考点】IS：两点间距离公式的应用．
【分析】作出点A（3，1）关于y=x的对称点A′（1，3），关于x轴的对称点A''（3，﹣1），
则△ABC周长的最小值线段A′A“的长．
【解答】解：作出点A（3，1）关于y=x的对称点A′（1，3）， 关于x轴的对称点A''（3，﹣1），
连结A′A''，交直线y=x于点C，交x轴于点B， 则AC=A′C，AB=A''B， ∴△ABC周长的最小值为： |A′A“
|==2．
故选：B．
12．[普通高中]已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且
=
，
则的值为（ ） A．2
B． C．4
D．5
【考点】85：等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的通项公式、前n项和公式推导出=
=
，由此能
求出结果．
【解答】解：∵两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且
=
，
∴=====4．
故选：C．
13．[示范高中]若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m
积数列”．若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2017积数列”，且a1＞1，则当其前n项的乘积取最大值时n的值为（ ） A．1008
B．1009
C．1007或1008
D．1008或1009
【考点】8H：数列递推式．
【分析】利用新定义，求得数列{an}的第1008项为1，再利用a1＞1，q＞0，即可求得
结论．
【解答】解：由题意，a2017=a1a2…a2017， ∴a1a2…a2016=1，
∴a1a2016=a2a2015=a3a2014=…=a1007a1010=a1008a1009=1，
∵a1＞1，q＞0，
∴a1008＞1，0＜a1009＜1，
∴前n项积最大时n的值为1008．
故选：A．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）
14．已知直线l的斜率为2，且在y轴上的截距为1，则直线l的方程为 y=2x+1 ．
【考点】IK：待定系数法求直线方程．
【分析】根据斜截式公式写出直线l的方程即可．
【解答】解：直线l的斜率为k=2，且在y轴上的截距为b=1，
所以直线l的方程为y=2x+1． 故答案为：y=2x+1．
15．△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=5，c=7，则角C的大小为
．
【考点】HR：余弦定理．
【分析】由已知利用余弦定理可求cosC的值，结合C的范围，由特殊角的三角函数值即可得解．
【解答】解：∵a=3，b=5，c=7， ∴cosC==
=﹣，
∵C∈（0，π）， ∴C=
．
故答案为：．
16．正方体的各项点都在同一个球的球面上，若该正方体的体积为8cm3
，则其外接球的表面积为 12π cm2．
【考点】LG：球的体积和表面积．
【分析】由体积求出正方体的棱长，球的直径正好是正方体的体对角线，从而可求出球的半径，得出体积．
【解答】解：设正方体的棱长为a，则a3=8cm3，即a=2cm， ∴正方体的体对角线是为2cm
∴球的半径为r=cm，故该球表面积积S=4πr2=12πcm2．
故答案为：12π．
17．已知a＞0，b＞0，a+2b=3，则+的最小值为 ．
【考点】7F：基本不等式．
【分析】将1=（a+2b）代入得到+=（+）（a+2b）×，再利用基本不等式可求
最小值．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+2b=3， ∴+=（+）（a+2b）× =
≥+
=， （当且仅当
=即a=，b=时取等号），
∴+的最小值为； 故答案为：．
18．[示范高中]设x＞y＞z，且+＞
（n∈N*）恒成立，则n的最大值为 3 ．
【考点】7F：基本不等式． 【分析】.根据题意，将+
＞变形为n＜（x﹣z）[+]，令t=（x﹣z）
[+
]，由基本不等式的性质分析可得t的最小值，进而分析可得若n＜（x﹣z）[
+
]恒成立，必有n＜4，又由n∈N*分析可得答案．
【解答】解：根据题意，若+
＞
（n∈N*）恒成立，
则有n＜（x﹣z）[+
]恒成立， 令t=（x﹣z）[+]，
则有t=（x﹣z）[+]=[（x﹣y）+（y﹣z）][ +
]=2+（
+
）≥2+2=4，
即t=（x﹣z）[
+]有最小值4，
若n＜（x﹣z）[+]恒成立，必有n＜4，
故n的最大值为3， 故答案为：3．
三、解答题（共6小题，满分70分）
19．已知等差数列{an}满足a3=3，前6项和为21． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn=3
，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】8E：数列的求和．
【分析】（1）利用等差数列通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{an}的通项公式． （2）由bn=3
=3n，能求出数列{bn}的前n项和．
【解答】解：（1）∵等差数列{an}满足a3=3，前6项和为21， ∴
，
解得a1=1，d=1， ∴an=1+（n﹣1）×1=n． （2）bn=3
=3n
，
∴数列{bn}的前n项和： Tn=3+32+33+…+3n ==
．
20．已知△ABC的顶点A（2，4），∠ABC的角平分线BM所在的直线方程为y=0，AC边上的高BH所在的直线方程为2x+3y+12=0．
（1）求AC所在的直线方程； （2）求顶点C的坐标．
【考点】IG：直线的一般式方程．
【分析】（1）根据垂直的两条直线斜率的关系，算出AC的斜率kAC，由直线方程的点斜式可得直线AC方程；
（2）求出AB所在直线方程，设出C的坐标，求出C关于直线y=0的对称点，由点在直线上列式求得C的坐标．
【解答】解：（1）∵AC边上的高BH所在的直线方程为2x+3y+12=0，
，则AC所在直线的斜率为，
∵A（2，4），
∴AC所在直线方程为y﹣4=，即3x﹣2y+2=0；
（2）∵∠ABC的角平分线所在的直线方程为y=0． 联立
，解得B（﹣6，0）．
∴AB所在直线方程为
，即x﹣2y+6=0．
设C（m，n），则C关于y=0的对称点为（m，﹣n）， 则
，解得m=﹣2，n=﹣2．
∴顶点C的坐标为（﹣2，﹣2）．
21．如图，要测量河对岸A、B两点之间的距离，选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB=75°．∠BCD=∠ADB=45°，∠ADC=30°，请利用所测数据计算A、B之间的距离．
【考点】HU：解三角形的实际应用．
【分析】在△ACD中利用正弦定理计算AD，在△BCD中利用正弦定理计算BD，在△ABD中利用余弦定理计算AB．
【解答】解：在△ACD中，∠ACD=75°+45°=120°，∴∠CAD=30°， 由正弦定理得：
=
，解得AD=3，
在△BCD中，∠CDB=45°+30°=75°，∴∠CBD=60°， 由正弦定理得：
=
，解得BD=
，
在△ABD中，由余弦定理得AB==
．
22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，E为PD的中点． （1）求证：PB∥平面AEC；
（2）若PA⊥平面ABCD，PA=AD，求证：平面AEC⊥平面PCD．
【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．
【分析】（1）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面
AEC；
（2）要证平面PDC⊥平面AEC，需要证明CD⊥AE，AE⊥PD，即垂直平面AEC内的两条相交直线．
【解答】证明：（1）连接BD交AC于O点，连接EO，
∵O为BD中点，E为PD中点， ∴EO∥PB，
又EO?平面AEC，PB?平面AEC， ∴PB∥平面AEC．
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD， ∴PA⊥CD，
又AD⊥CD，且AD∩PA=A，
∴CD⊥平面PAD，又AE?平面PAD， ∴CD⊥AE．
∵PA=AD，E为PD中点，
∴AE⊥PD． 又CD∩PD=D， ∴AE⊥平面PDC， 又AE?平面PAD， ∴平面PDC⊥平面AEC．
23．已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且csinA=
acosC．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，求△ABC的面积的最大值． 【考点】HP：正弦定理．
【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式，可得sinC=cosC，结合C是三角形的内角，
得出C=60°；
（2）由已知及余弦定理，基本不等式可求ab≤4，进而利用三角形面积公式即可得解． 【解答】（本题满分为12分） 解：（1）∵csinA=
acosC，
∴由正弦定理，得sinCsinA=sinAcosC
结合sinA＞0，可得sinC=cosC，得tanC=
∵C是三角形的内角， ∴C=60°；
（2）∵c=2，C=60°，
∴由余弦定理可得：4=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab，当且仅当a=b时等号成立， ∴S△ABC=absinC≤=
，当且仅当a=b时等号成立，即△ABC的面积的最大值
为．
24．已知函数g（x）=x2+bx+c，且关于x的不等式g（x）＜0的解集为（﹣，0）． （1）求实数b，c的值；
（2）若不等式0≤g（x）﹣＜对于任意n∈N*恒成立，求满足条件的实数x
的值．
【考点】3R：函数恒成立问题．
【分析】（1）由题意可得0和﹣为方程x2+bx+c=0的两根，运用韦达定理可得b，c的值；
（2）由题意可得
≤x2+x，且＞x2+x﹣对于任意n∈N*恒成立，将
分子常数化，由对勾函数的单调性，可得它的范围，由恒成立思想可得x2+x
﹣=0，解方程即可得到所求x的值．
【解答】解：（1）函数g（x）=x2+bx+c，且关于x的不等式g（x）＜0的解集为（﹣，0）．
可得0和﹣为方程x2+bx+c=0的两根， 可得0﹣=﹣b，0×（﹣）=c， 即有b=，c=0； （2）不等式0≤g（x）﹣
＜对于任意n∈N*恒成立，
即为
≤x2+x，且
＞x2+x﹣对于任意n∈N*恒成立，
由
=
=
， 由n∈N*，可得2n≥2，2n+
≥2+=，
可得0＜
≤，
则≤x2+x，且x2+x﹣≤0， 即为x2+x﹣=0， 解得x=﹣1或．
附加题（共1小题，满分10分）
25．已知圆C的圆心在直线4x+y=0上，且与直线x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）． （1）求圆C的方程；
（2）过圆内一点P（2，﹣3）的直线l与圆交于A、B两点，求弦长AB的最小值． 【考点】J8：直线与圆相交的性质．
【分析】（1）过切点且与l：x+y﹣1=0垂直的直线为y=x﹣5，与y=﹣4x联立可求得圆心，再由两点间的距离公式求得半径r，即求得圆的方程．
（2）当CP⊥AB，即P为AB中点时，弦长AB最小，即可得弦长AB的最小值． 【解答】解：（1）过切点且与l：x+y﹣1=0垂直的直线为y=x﹣5，与y=﹣4x联立可求得圆心为C（1，﹣4）， ∴r=
=2
∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2=8；
（2）当CP⊥AB，即P为AB中点时，弦长AB最小 CP=
弦长AB的最小值为2
．
．
2017年8月11日
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