2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总 平面向量专题解析版 (可下载)

2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总

平面向量专题

（附详细答案解析）

一、选择题。

1.（2019全国Ⅰ文8）已知非零向量a，b满足

为 A．

a=2b，且（a–b）?b，则a与b的夹角

ππ2π5π B． C． D． 6336【答案】B．

【解析】因为?a?b??b，

22所以?a?b??b=a?b?b?a?bcos?a,b??b?0，

所以cos?a,b??b2a?b?b22b?1． 2π．故选B． 3又因为?a,b??[0，π]，所以?a,b??2.（2019全国Ⅱ文3）已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a–b|= A．2 B．2 C．52 D．50 【答案】A．

【解析】因为a?(2,3)，b?(3,2)，所以a-b?(?1,1)，

所以a?b?(?1)?1?222．故选A.

3.（2018全国卷Ⅰ）在?ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB? A．

31133113AB?AC B．AB?AC C．AB?AC D．AB?AC 44444444【答案】A.

【解析】法一、通解 如图所示，

AEEB?ED?DB??11AD?CB 22111?AB?AC?AB?AC222???? BDC?31AB?AC．故选A． 44 十年高考数学专题汇总 第 1 页 共 42 页 平面向量专题

法二、优解

EB?AB?AE?AB??111AD?AB??(AB?AC) 22231AB?AC．故选A． 444.（2018全国卷Ⅱ）已知向量a，b满足|a|?1，a?b??1，则a?(2a?b)? A．4

B．3

C．2

D．0

【答案】B.

【解析】a?(2a?b)?2a?a?b?2?(?1)?3，故选B．

2?MON?120，5.（2018天津）在如图的平面图形中，已知OM?1， BM?2MA，ON?2，OM的值为 CN?2NA，则BC· A．?15 B．?9 C．?6 【答案】C.

【解析】由BM?2MA，可知

D．0

AMOBNC|BM||BA|?2，∴?3． |MA||MA|由CN?2NA，可知

|CN||CA||BA||CA|?2，∴?3，故??3，

|MA||NA||NA||NA|连接MN，则BC∥MN，且|BA|?3|MN|， ∴BC?3MN?3(ON?OM)，

∴BC?OM?3(ON?OM)?OM?3(ON?OM?OM)

2?3(|ON||OM|cos120?|OM|2)??6．故选C．

6.（2018浙江）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为向量b满足b?4e?b?3?0，则|a?b|的最小值是

A．3?1 B．3?1 C．2 D．2?3 【答案】A.

【解析】解法一 设O为坐标原点，a?OA，b?OB?(x,y)，e=(1,0)，

222由b?4e?b?3?0得x?y?4x?3?0，即(x?2)?y?1，

22?，32所以点B的轨迹是以C(2,0)为圆心，l为半径的圆．

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因为a与e的夹角为

?，所以不妨令点A在射线y?3x(x?0)上，如图， 3yy=3xABOCx

数形结合可知|a?b|min?|CA|?|CB|?3?1．故选A．

2解法二 由b?4e?b?3?0得b?4e?b?3e?(b?e)?(b?3e)?0．

22设b?OB，e?OE，3e?OF，所以b?e?EB，b?3e=FB，

所以EB?FB?0，取EF的中点为C．则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图．

ABOECF

设a?OA，作射线OA，使得?AOE??3，所以|a?b|?|(a?2e)?(2e?b)|≥

|(a?2e)|?|(2e?b)|?|CA|?|BC|≥3?1．故选A．

7.（2017北京）设m, n为非零向量，则“存在负数?，使得m??n”是“m?n?0”的

A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 【答案】A.

【解析】因为m,n为非零向量，所以m?n?|m||n|cos?m,n??0的充要条件是

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

cos?m,n??0．

因为??0，则由m??n可知m,n的方向相反，?m,n??180，所以

cos?m,n??0，所以“存在负数?，使得m??n”可推出“m?n?0”；

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而m?n?0可推出cos?m,n??0，但不一定推出m,n的方向相反，从而不一定推得“存在负数?，使得m??n”，

所以“存在负数?，使得m??n”是“m?n?0”的充分而不必要条件．

8.（2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB?BC,AB?BC?AD?2,CD?3， OC，I3＝OC·OD，则 AC与BD交于点O，记I1?OA?OB，I2＝OB·DAOBC

A．I1

B．I1

【解析】如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，

易得AO?AF，而?AFB?90，∴?AOB与?COD为钝角，?AOD与?BOC为锐角．

根据题意I1?I2?OA?OB?OB?OC?OB?(OA?OC)?OB?CA?

|OB||CA|cos?AOB?0，∴I1?I2，同理I2?I3．

作AG?BD于G，又AB?AD．∴OB?BG?GD?OD， 而OA?AF?FC?OC，∴|OA|?|OB|?|OC|?|OD|，

而cos?AOB?cos?COD?0，∴OA?OB?OC?OD，即I1?I3， ∴I3?I1?I2，选C．

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