真题演练集训
1．[2015·新课标全国卷Ⅱ]已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3
＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( )
A．21 C．63 答案：B
解析：设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.
2．[2016·新课标全国卷Ⅰ]设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4
＝5，则a1a2…an的最大值为________．
答案：64
解析：设等比数列{an}的公比为q，
2
???a1＋a3＝10，?a1＋a1q＝10，∴??? 3
?a2＋a4＝5???a1q＋a1q＝5，
B．42 D．84
?a1＝8，解得?1
?q＝2，
?1?
∴a1a2…an＝?2?(－3)＋(－2)＋…＋(n－4)
??
74911??n－?2－?n(n－7)24??1?2?1?2?????＝ ＝ ，
?2??2?
7?249?1??
??当n＝3或4时，2n－2?－4?取到最小值－6，
????
7491??n－?2－?24??1?2?6
此时?2? 取到最大值2，所以a1a2…an的最大值为
??
64.
3．[2015·新课标全国卷Ⅰ]在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn
为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.
答案：6
解析：∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列． 2?1－2n?
又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.
1－2
4．[2015·安徽卷]已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．
答案：2n－1
解析：设等比数列的公比为q，
3?1???a1＋a1q＝9，?a1＝1，则有?23解得?或?1
?a1·?q＝8，q＝.??q＝2
a＝8，
2
?
又{an}为递增数列，
??a1＝1，1－2nn
∴?∴Sn＝＝2－1.
1－2?q＝2，?
5．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； 31
(2)若S5＝32，求λ.
1
解：(1)由题意，得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a≠0.
1－λ1由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan， 即an＋1(λ－1)＝λan，
an＋1λ
由a1≠0，λ≠0，得an≠0，所以a＝. λ－1n
1λ
因此{an}是首项为，公比为的等比数列，
1－λλ－11?λ?n－1
??. 从而得通项公式an＝
1－λ?λ－1?
?λ?n
(2)由(1)，得Sn＝1－?λ－1?.
???λ?53131
由S5＝32，得1－?λ－1?＝32，
???λ?51
即?λ－1?＝32，解得λ＝－1. ??
课外拓展阅读
分类讨论思想在等比数列中的应用
3
[典例] 已知首项为2的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式； 113
(2)求证：Sn＋S≤6(n∈N*)．
n
[审题视角]
(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n项和，根据函数的单调性证明． (1)[解析] 设等比数列{an}的公比为q， 因为－2S2，S3,4S4成等差数列，
所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4， a41
可得2a4＝－a3，于是q＝a＝－2. 3
3
又a1＝2，所以等比数列{an}的通项公式为
3?1?n－1n－13??an＝2×－2＝(－1)·2n. ??
?1?n(2)[证明] 由(1)知，Sn＝1－?－2?，
???1?n11
??Sn＋S＝1－－2＋ ?1?n??n
1－?－2??
?
?＝?1
?2＋2?2－1?，n为偶数.
nnn
1
2＋nn，n为奇数，2?2＋1?
1
当n为奇数时，Sn＋S随n的增大而减小， 1113
所以Sn＋S≤S1＋S＝6；
n
1
1
当n为偶数时，Sn＋S随n的增大而减小，
n
1125
所以Sn＋S≤S2＋S＝12.
n2113
故对于n∈N，有Sn＋S≤6. n
*
方法点睛
1．分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有： (1)已知Sn与an的关系，要分n＝1，n≥2两种情况讨论． (2)等比数列中遇到求和问题要分公比q＝1，q≠1讨论． (3)项数的奇、偶数讨论．
(4)等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论． 2．数列与函数联系密切，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别．
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