复变函数期末考试复习题及答案详解

??（1） ?nzn?1 （2）(?1)nznn?1? n?1n!9、讨论f(z)?|z|2的可导性和解析性。(6分) 三、 证明题。

1、设函数f(z)在区域D内解析，|f(z)|为常数，证明f(z)必为

常数。(5分)

2、试证明az?az?b?0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为

实常数。(5分)

《复变函数》考试试卷(十一)

一、填空题。(每题2分)

1、设z?r(cos??isin?)，则zn?_________________。 2、设函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，A?u0?iv0，z0?x0?iy0，则

zlim?zf(z)?A的充要条件是

0___________________________。

3、设函数f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分?Cf(z)dz?_______。

4、设z?a为f(z)的可去奇点，则limz?af(z)为。

5、设f(z)?z2(ez2?1)，则z?0是f(z)的______阶零点。 6、设f(z)?11?z2，则f(z)在z?0的邻域内的泰勒展式为_______________________。

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7、设|z?a|?|z?a|?b，其中a,b为正常数，则点z的轨迹曲线是______。

8、设z?si?n?ico?s，则z的三角表示式为_____________。__

9、?1?i1zezdz?___________________。 10、设f(z)?z2sin1z，则f(z)在z?0处的留数为_________。 二、计算题。

1、计算下列各题。(9分) (1) Ln(?3?4i); (2) e?1??i6; (3) (1?i)1?i

2 求解方程z3?2?0。(7分)

3设u?2(x?1)y，验证u是调和函数，并求解析函数

f(z)?u?iv，使之f(2)??i。(8分)

4、计算积分?1?i0[(x?y)?ix2]dz。积分路径为(1)自原点到1?i的

直线段；(2) 自原点沿虚轴到i，再由i沿水平方向向右到1?i。

(10分) 5、试求f(z)?1z?2在z??1的邻域内的泰勒展开式。(8分) 6、计算下列积分。(8分) (1)

?sinz|z|?2(z??dz; (2)

?z2?2|z|?4z2(z?3)dz.

2)2

7、计算积分?2?d?05?3cos?。(6分)

8、求下列幂级数的收敛半径。(6分)

?? ?(1?i)nzn （2）(n!)2（1）zn ?0?nnn?1n9、设f(z)?my3?nx2y?i(x3?lxy2)为复平面上的解析函数，试确定l,m,n的值。(8分) 三、 证明题。

1设函数f(z)在区域D内解析，f(z)在区域D内也解析，证明

f(z)必为常数。(5分)

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2试证明az?az?b?0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数。(5分)

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