例1.2 电路图见图1-3。R=1.4Ω，L=2H，C=0.32F。初始状态：电感电流为零，电容电压为0.5V。ｔ＝０时刻接入１伏的电压。求0 根据基尔霍夫定律[RLC]有： Ri?Ldi?v0?vs dtdt和 i?Cdv0 令 x1?v0,x2?i 图1-3 11?2?(vs?x1?Rx2) 得 x?1?x2 xLC以上方程式在M-文件electsys.m中定义如下： function xdot=electsys(t, x); %状态导数 V=1; %阶跃输入 R=1.4; L=2; C=0.32; xdot=[x(2)/C;1/L*(V-x(1)-R*x(2))]; 下面的M-文件使用函数ode23对系统进行仿真。 t0=0;tfinal=15; ﹡时间间隔0～15秒 x0=[0.5,0]; ％初值条件x1=0.5,x2=0 tol=0.001; ％精度 trace=0; ％若非零值则打印出每一步的计算值 [t, x]=ode23('electsys',t0,tfinal,x0,tol,trace); subplot(211), plot(t, x); title('Time response of a RLC series circuit') xlabel('Time-sec') text(8,1.05,'Capacitor voltage'),text(8,0.05,'current') vc=x(:,1), i=x(:,2); subplot(212),plot(vc, i); title('current versus capacitor voltage') xlabel('Capacitor Voltage') ylabel('current') subplot(111) 仿真结果见图1-4。 3 Time response of a RLC series circuit1.510.50-0.5currentCapacitor voltage051015Time-seccurrent versus capacitor voltage0.150.1current0.050-0.05-0.10.50.60.70.80.91Capacitor Voltage1.11.21.3 图1-4 1.1.3 非线性系统 在变量的一定范围内大多数物理系统是线性的。然而，随着变量范围的延伸，所有的系 统最终都是非线性的。对于非线性系统，叠加原理不再成立。Ode23和ode45可以求解非线性微分方程，见例1-3。 例1.3 图1-5的单摆，一长Ｌ米的无重量绳悬挂重为W=mg千克 的物体,阻尼系数为B千克/米/秒。通常，该系统用线性微分方程近似描 述，实际上它是非线性的。 如果θ为绳的倾角，物体的速度将为Lθ，那么离心力为 ? F??Wsin?-BL?根据牛顿定理有 ? F?mL??联结上两式，得 ??BL???Wsin??0 mL????得 令x1??,x2?? 4 ?1?x2 , x?2??xBWx2?sinx1 mmL上面方程式在M-文件pendulum.m中定义如下： function xdot=pendulum(t, x); ％状态导数 W=2; L=.6; B=0.02; g=9.81; m=W/g; xdot=[x(2); -B/m*x(2)-W/(m*L)*sin(x(1))]; 下面的M-文件对系统进行仿真。 t0=0; tfinal=5; ％时间间隔0～5秒 x0=[1,0]; ％初始条件x1=1,x2=0 tol=0.0001; trace=0; ％精度，不打印每一步的计算值 [t, x]=ode23('pendulum',t0,tfinal,x0,tol,trace); subplot(211),plot(t, x) title('Time response of a rigid pendulum'),xlabel('Time-sec') text(3.2,3.5,'Velocity'),text(3.2,1.2,'Angle-Rad') th=x(:,1);w=x(:,2); subplot(212),plot(th, w) title('Phase plane plot of pendulum') xlabel('Position-Rad'),ylabel('Angular velocity') subplot(111) 仿真结果见图1-6。 Time response of a rigid pendulum42Angle-Rad0-2-4Velocity00.511.52.533.5Time-secPhase plane plot of pendulum244.554Angular velocity20-2-4-1-0.8-0.6-0.4-0.200.2Position-Rad0.40.60.81 图1-6 5 1.1.4 线性化 在小信号条件下，非线性系统可以线性化。例１.３中单摆的运动方程在初始角较小的情况下，可被线性化。设θ=θ+Δθ，单摆运动方程如下： ?????)?BL(??????)?Wsin(????)?0 (1.1) mL(???000当Δθ〈〈∞时，有sinΔθ≈0,cosΔθ≈1,又因为θ0较小，有sinθ0≈Δθ，那么有线性方程 ??BL????W???0 (1.2) mL???当Δθ很小时，线性方程（1.2）的解与（1.1）一致。 1.2 传递函数 线性时不变系统的传递函数定义为零初始条件下输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉 普拉斯变换像函数之比。尽管传递函数只能用于线性系统，但它比微分方程提供更为直观的信息。令传递函数的分母多项式等于零，便得到特征方程。特征方程的根是系统的极点，分子多项式的根是系统的零点。那么传递函数便可由常数项与系统的零、极点确定。常数项，通常记作k，是系统的增益。利用传递函数，我们可以方便的研究系统参数的改变对响应的影响。通过拉普拉斯反变换可得到系统在时域的响应。通常需要用有理函数的部分分式展开。 在这部分举几个例子介绍MATLLAB中求特征多项式的根，求传递函数的零、极点，部分分式展开以及已知零、极点求传递函数等函数的功能。 1.2.1 多项式的根和特征多项式 如果P是包含多项式系数的行向量，roots(P)得到一个列向量，其元素为多项式的根。如果r是包含多项式根的一个行/列向量，poly(r)得到一个行向量，其元素为多项式的系数。 例1.4 求多项式 s6+9s5+31.25s4+61.25s3+67.75s2+14.75s+15的根。 多项式系数以降幂次序排列在一行向量中。用roots求根。 >>P=[1 9 31.25 61.25 67.75 14.75 15]; >>r=roots(P) 多项式的根从列向量r中得到 r = -4.0000 -3.0000 -1.0000 + 2.0000i -1.0000 - 2.0000i -0.0000 + 5.0000i -0.0000 - 5.0000i 例1.5 多项式的根为-1,-2,-3±j4。求多项式方程。 6
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