《自动控制理论》课程设计指导(应用matlab)

的特征值λ1,λ2,?,λn。从而，状态转移矩阵亦可化为对角元为e（假定A有n个互不相同的特征值）。

λ1t

,e

λ2t

,?,e

λnt

的对角矩阵。

给定线性系统。当A有n个互不相同的特征值时，我们可以找到非奇异变换矩阵P，令

x(t)=py(t) (1.10)

将上面状态方程化为对角线规范型

??ay?bu(t) (1.11) y其中

a=p-1AP, b=p-1B

有很多方法可以求得P，如利用A的特征向量可构造P。

例1.11 定系统的状态空间描述为

?1??0 1 -1??x1??0??x?x?2???-6 -11 6??x2???0?u ??????????3??-6 -11 5????1???x???x3???求它的对角规范型和变换矩阵P。 >> A=[0 1 -1;-6 -11 6;-6 -11 5]; B=[0;0;1]

>> [P,L]=eig(A); ％L是一个对角元为特征值的对角矩阵

％P是一个变换矩阵，其列是相应于特征值的特征向量

>> a=inv(P)*A*P ％A矩阵对角化 >> b=inv(P)*B 结果为： p =

-0.7071 -0.2182 -0.0921 -0.0000 0.4364 -0.5523 -0.7071 0.8729 -0.8285 a =

-1.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -2.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -3.0000 b = 2.8284 13.7477 10.8628

1.4 模型转换

1.4.1 传递函数向状态空间描述的转换

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控制系统工具箱包含一组模型转换的函数。[A,B,C,D]=tf2ss(num, den)将传递函数转换为状态空间描述。

例1.12 求下面传递函数的状态空间描述

>> num=[1 7 2]; den=[1 9 26 24]; >> [A, B, C, D]=tf2ss(num, den) 状态方程各矩阵如下：

??9?26?24??A??100?? C??172?

?10??0??1?? D=0

B??0????0??1.4.2 状态空间描述向传递函数的转换 已知状态方程和输出方程

??Ax?Bu (1.12) xy=Cx+Du (1.13)

采用拉普拉斯变换有

Y(s)=C(sI-A)-1Bu(s)+Du(s)

则

G(s)?Y(s)?C(sI?A)?1B?D (1.14) U(s)函数ss2tf(A,B,C,D,i)是将状态空间描述转换为对第一个输入的传递函数。

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,i)是将状态空间描述化为分子、分母多项式形式的传递函数。 [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,i)将状态空间描述化为零极点形式表示的传递函数。 例1.13 一个系统的状态空间描述如下

?1??0 1 0??x1??10??x?x?2???0 0 1??x2???0?u ??????????3??-1 -2 -3????0???x???x3???y=[1 0 0]x

求传递函数G(s)=Y(s)/U(s)

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>>A=[0 1 0; 0 00 1; -1 -2 -3]; B=[10; 0; 0]; >>C=[1 0 0];D=[0]; >>[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1) >>[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,1)

其中，ss2tf(A,B,C,D,1)中“1”表示对第一个输入。 传递函数的分子、分母多项式系数如下： num=

0 10.0000 30.0000 20.0000 den=

1.0000 3.0000 2.0000 1.0000 传递函数的零、极点如下： z=

-1 -2 p=

-0.3376+0.5623i -0.3376-0.5623i -2.3247 k=10

因而传递函数为

10(s2?3s?2)G(s)?3s?3s2?2s?1 10(s?1)(s?2) ?(s?0.3376?0.5623i)(s?0.3376?0.5623i)(s?2.3247)1.4.3 由方框图求状态空间描述和传递函数

控制系统工具箱中提供了函数[A,B,C,D]=connect(a, b, c, q, iu, iy)。将方框图描述转换成状态空间描述和传递函数。其中q矩阵规定了各框之间的连接关系。其每一行的第一个元素是框号，其余的元素依次是于该框连接的框号，iu,iy分别表示输入，输出施加的框号。

例1.14 将图1-7由框图表示的系统转换成状态空间描述和传递函数。 >>n1=1; d1=1; n2=0.5; d2=1; n3=4; d3=[1 4]; >>n4=1; d4=[1 2]; n5=1; d5=[1 3]; n6=2; d6=1; >>n7=5; d7=1; n8=1; d8=1; >>nblocks=8; blkbuild

>>q=[1 0 0 0 0 ％q矩阵表示框图的结构。

2 1 -6 -7 -8 如第2个框于第1个框按

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3 2 0 0 0 1的关系连接，于第6.7.8 4 3 0 0 0 个框按-1关系连接，依次类推。 5 4 0 0 0 6 3 0 0 0 7 4 0 0 0 8 5 0 0 0];

>>iu=[1]; ％输入施加于第1个框上 >>iy=[8]; ％由第8个框输出 >>[A, B, C, D]=connect(a, b, c, d, q, iu, iy)

>>[num, den]=ss2tf(A,B,C,D,1) ％转换成传递函数 结果为 A=

-8.0 -2.5 -0.5 0.4 -2.0 0 0 1.0 -3.0 B=

0.5 0 0 C=

0 0 1 D=

0 num=

0 0 0 2 den=

1.0 13.0 56.0 80.0 即

C(s)2?3 2R(s)s?13s?56s?80

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