机械原理
机 构运 动分 析 基
上 机 指 导 书
本 杆组 法
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Ⅱ级机构的杆组分析法通用子程序设计
随着计算机的普及，用解析法对机构进行运动分析得到越来越广泛的应用。解析法中有矢量方程解析、复数矢量、杆组分析、矩阵运算等方法。本文采用杆组分析的方法，设计通用的Ⅱ级杆组子程序，可对一般的Ⅱ级机构进行运动分析。
1. 单杆运动分析子程序
单杆的运动分析，通常是已知构件三角形△P1P2P3的边长l、r夹角α以及构件上某基
’ ’’，要点P1的运动参数x1，y1，x’1，y’1，x’’1，y’’1和构件绕基点转动的运动参数θ，θ，θ
求确定构件上点P2和P3的运动参数。 显然，由图1可得下列关系式：
x2=x1+lcosθ， y2=y1+lsinθ ’ ’ x’2=x’1-lsinθθ， y’2=y’1+lcosθθ
2 2’’-lcosθ’, y’’=y’’+lcosθ’’-lsinθ’
x’’2=x’’1-lsinθθθθθ 21
x3=x1+rcos(θ+α)， y3=y1+rsin(θ+α) ’ ’ x’3=x’1-(y3-y1)θ， y’3=y’1+(x3-x1)θ
2 2’’-(x-x)θ’ ’’-(y-y)θ’
x’’3=x’’1-(y3-y1)θ, y’’3=y’’1+(x3-x1)θ 3131
由以上各式可设计出单杆运动分析子程序（见程序单）。
图1
2. RRR杆组运动分析子程序
图2所示RRRⅡ级杆组中，杆长l1，l2及两外接转动副中心P1，P2的坐标、速度、加
速度分量为x1，x’1，x’’1，y1，y’1，y’’1，x2，x’2，x’’2，y2，y’2，y’’2，要求确定两杆的角度、
’ ’’’’’
角速度和角加速度θ1，θ1，θ1，θ2，θ2，θ2。 1) 位置分析
将已知P1P2两点的坐标差表示为：
u=x2-x1，v=y2-y1 (1) 杆l1及l2投影方程式为： l1cosθ1-l2cosθ2=u
l1sinθ1-l2sinθ2=v (2) 消去θ1得：vsinθ2+ucosθ2+c=0 (3)
2222
其中：c=(u+v+l2-l1)/2l2 解式(3)可得：
tan(θ2/2)=(v±v2?u2?c2)/(u-c) (4)
式中+号和-号分别对应图2中m=+1和m=-1两位置。 图2
..
.
由式(2)可得：
tanθ1=(v+l2sinθ2)/(u+l2cosθ2) (5) 2) 速度分析
’+Aθ’=u’，Aθ’+Aθ’=v’ (6) 对式(2)求导一次得：A1θ1322142
其中：A1=-l1sinθ1，A2=l1cosθ1，A3=l3sinθ2，A4=-l2cosθ2
’=(Au’-Av’)/D，ω=θ’=(Av’-Au’)/D (7) 解式(6)可得：ω1=θ1432212
其中：D=A1A4-A2A3=l1l2sin(θ1-θ2)
3) 加速度分析
’’+Aθ’’=E，Aθ’’+Aθ’’=F (8) 对式(6)求导一次得：A1θ1322142
’2+Aθ’2，F=v’’-Aθ’2-Aθ’2 其中：E=u’’+A2θ1421132
’’=(AE-AF)/D，α=θ’’=(AF-AE)/D (9) 解式(8)可得：α1=θ1432212
由上述式子可设计出RRR杆组运动分析子程序（见程序单）。
3. RRP杆组运动分析子程序
图3所示RRPⅡ级杆组中，已知杆长l1及两外接点P1，P2的运动和移动副轴线P2P3的
’，θ’’）方向角变量（θ2，θ P2点为以移动副与构件2相连的构件上运动已知的牵连点，22，
’，l’’，θ’’。 要求确定运动变量l2，θ1，l’2，θ121
1) 位置分析
由于θ2已知，l2待求，将式(2)消去θ1可得： 2222
l2+2(ucosθ2+vsinθ2)l2+(u+v-l1)=0 由此解得：
l2=-(ucosθ2+vsinθ2)±
2 l1?(usin?2?vcos?2)2 (10)
式中+号用于转动副中心P3处在P2H线段之外（ 图3中m=+1的位置），-号用于P3处在P2H线段 之内（图3中m=-1的位置）。 θ1由式(5)而定。
2) 速度分析
..
.
对式(2)求导一次得： 图3
’+Al’=G，Aθ’+Al’=H (11) A1θ1522162
’，H=v’-lAθ’ 其中：A1，A2同前，A5=-cosθ2，A6=-sinθ2，G=u’+l2A6θ2252
’=(AG-AH)/D，l’=(AH-AG)/D (12) 解式(11)可得：ω1=θ16582128
其中：D8=A1A6-A2A5=l1cos(θ1-θ2) 3) 加速度分析
’’+A l’’=E，Aθ’’+A l’’=F (13) 对式(11)求导一次得：A1θ152121621
22’+2Al’θ’+lAθ’+lAθ’’ 其中：E1=u’’+A2θ1622252262’2-2Al’θ’+lAθ’2-lAθ’’ F1=v’’-A1θ1522262252
’’=(AE-AF)/D，l’’=(AF-AE)/D (14) 解式(13)可得：α1=θ161518211218
由上述式子可设计出RRP杆组运动分析子程序（见程序单）。
4. RPR杆组运动分析子程序
图4所示RPRⅡ级杆组中，已知杆长l1及两外接点P1，P2的运动，l1为P1点至导路的垂直距离， P2为过P2'与导路垂直延伸点，延伸距离为w（当P2与P1在导路同侧时，w取
’，θ’，l’’，θ’’，θ’’。正，在异侧时，w取负），要求确定运动变量l2，θ1，θ2，l’2，θ12212
1) 位置分析
θ1与θ2的关系为：θ2=θ1±π/2 (15)
式中+号和-号分别对应图4中m=+1和m=-1两 位置。
l1与l2有如下关系： l2?u2?v2?(l1?w)2 (16)
由式(4)和式(16)可得：
tan(θ2/2)=[v±(l1-w)]/(u-l2) (17)
2) 速度分析
’=θ’，引进符号θ’（i=1,2） 由于θ，对 12i
式(2)求导一次得：
’+Al’=u’，Aθ’+Al’=v’ A7θ (18) i528i62
其中：A7=-(l1-w)sinθ1+l2sinθ2
A8= (l1-w)cosθ1-l2cosθ2 图4 解式(18)可得： ωi=θi=(A6u’ -A5v’)/(-l2)，l’2=(A7v’ -A8u’)/(-12) (19)
..
.
3) 加速度分析
’’+Al’’=E，Aθ’’+Al’’=F (20) 对式(18)求导一次得：A7θi5228i622
’2+2Al’θ’，F=v’’-Aθ’2-2Al’θ’ 其中：E2=u’’+A8θi62i27i52i
’’=(AE-AF)/(-l)，l’’=(AF-AE)/(-l) (21) 解式(20)可得：αi=θi62522272822
由上述式子可设计出 RPR杆组运动分析子程序（见程序单），在子程序中，以+m代替前面各式中出现的±计算符。 m称之为型参数，在设计主程序时，应根据各类Ⅱ级杆组不同的布置型式，确定m的取值（m可取+1，-1和0）。
5．PRP杆组运动分析子程序
图5所示PRPⅡ级杆组中，已知导路1，2两外接点P1，P2的运动，h1，h2分别为未知
’，’’运动点P3至导路1，2的垂直距离，导路1，2的方位角、角速度、角加速度（θ1，θ1θ1，
’，θ’’）均已知，要求确定导路1，2移动的位移、速度及加速度（l，l，l’，l’，θ2，θ221212
l’’1，l’’2）以及P3点的运动（x3，x’3，x’’3，y3，y’3，y’’3）。
1） 位置分析
推导l1，及l2的方程式：
x1+l1cosθ1+h1sinθ1 = x2+l2cosθ2-h2sinθ2 y1+l1sinθ1-h1cosθ1 = y2+l2sinθ2+h2cosθ2 整理得：
l1cosθ1 - l2cosθ2 = E1
l1sinθ1 - l2sinθ2 = F1 (22) 其中：E1=u- A3h1-A4l2，F1=v+A1h1+A2h2，
A1=cosθ1，A2=cosθ2，A3=sinθ1，A4=sinθ2 。
由于θ1 ，θ2均已知，由此解得： l1 =（F1 cosθ2 - E1sinθ2） / D8
l2 =（F1 cosθ1 - E1sinθ1） / D8 (23) 其中：D8 = A2A3 - A1A4 = sin（θ1-θ2)
P3点的位置为：
x3 = x1 + l1cosθ1 + h1sinθ1
y3 = y1 + l1sinθ1 - h1cosθ1 (24) 2）速度分析
对式（22）求导一次，整理得：
l’1cosθ1 - l’2cosθ2 = E2 图5 l’1sinθ1 - l’2sinθ2 = F2 (25)
’– Aθ’，F= v’ - Aθ’– Aθ’，A= lcosθ+ hsinθ， 其中：E2 =u’ + A6θ1 82 2 51 72 5 11 11
..
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