2020灞婃禉姹熼珮鑰冩暟瀛︽�诲�嶄範璁蹭箟锛� 鏁板�﹀綊绾虫�?- 鐧惧害鏂囧簱

第五节

数学归纳法

数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．

[小题体验]

1

1．(教材习题改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步

2检验n等于________．

答案：3

2．(教材习题改编)用数学归纳法证明“1＋a＋a＋…＋an＝1时，上式左端计算所得为________．

答案：1＋a＋a2

1．数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.

2．推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法．

3．解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础．否则将会做大量无用功．

[小题纠偏]

判断正误(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( )

(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．( )

(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n2＝2n3－1”，验证n＝1时，左边式子

＋

＋

2n＋1

1－an2＝(a≠1)”．当验证

1－a

＋

应为1＋2＋22＋23.( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√

考点一 用数学归纳法证明等式?基础送分型考点——自主练透?

[题组练透]

1．(易错题)用数学归纳法证明：证明：(1)当n＝1时， 左边＝

1111

＝，右边＝＝，

2×1×?2×1＋2?84?1＋1?8

n1111

＋＋＋…＋＝(n∈N*)． 2×44×66×82n?2n＋2?4?n＋1?

左边＝右边，所以等式成立． (2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即有 k1111＋＋＋…＋＝， 2×44×66×82k?2k＋2?4?k＋1?则当n＝k＋1时，＝＝

11111

＋＋＋…＋＋ 2×44×66×82k?2k＋2?2?k＋1?[2?k＋1?＋2]

k1

＋

4?k＋1?4?k＋1??k＋2?k?k＋2?＋1

4?k＋1??k＋2?

?k＋1?2

＝ 4?k＋1??k＋2?＝

k＋1k＋1

＝. 4?k＋2?4?k＋1＋1?

所以当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立．

111

2．设f(n)＝1＋＋＋…＋n(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，

23n∈N*)．

证明：(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，

1

1＋－1?＝1，左边＝右边，等式成立． 右边＝2??2?(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，当n＝k＋1时，

f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)

1＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)?f?k＋1?－k＋1?－k

??

＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当n＝k＋1时结论仍然成立．

由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．

[谨记通法]

用数学归纳法证明等式应注意的2个问题

(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值．

(2)由n＝k到n＝k＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．

考点二 用数学归纳法证明不等式?重点保分型考点——师生共研?

[典例引领]

311

已知函数f(x)＝x－x2，设0＜a1＜，an＋1＝f(an)，n∈N*，证明：an＜.

22n＋11

证明：(1)当n＝1时，0＜a1＜，显然结论成立．

2110，?时，0＜f(x)≤， 因为当x∈??2?611

所以0＜a2＝f(a1)≤＜.

63故n＝2时，原不等式也成立． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时， 不等式0＜ak＜

1成立． k＋1

31

因为f(x)＝x－x2的对称轴为直线x＝，

231

0，?时，f(x)为增函数． 所以当x∈??3?所以由0＜ak＜

11

≤， k＋13

1

得0＜f(ak)＜f?k＋1?.

??

于是，0＜ak＋1＝f(ak)＜

k＋41311111－·＋－＝－＜. 22k＋12?k＋1?k＋2k＋2k＋22?k＋1??k＋2?k＋2

所以当n＝k＋1时，原不等式也成立． 根据(1)(2)，知对任何n∈N*，不等式an＜

1

成立． n＋1