中考 2020
?8k?b?0?k??3，解得 ???9k?b??3?b?24由题意得，∵AD//BC,kBC??3∴kAD??3，yAD??3x 又∵AD过（0,0），DC=AB=8，
设D(x,-3x) (x?9)?(?3x?3)?8, 解得x1?1(不合题意，舍去)，x2?5 ∴y??3x??222A M
B
C 13391339∴点D的坐标(,?)． 555D C 例7、如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?ax2?2x?c与x轴交于 y 点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）求证：∠DAB=∠ACB；
（3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为 底的等腰三角形，求Q点的坐标．
【答案】：（1）顶点坐标D（－1，4）．（2）?DAB??ACB ??3?4111?41???3?41?11?41?,,，???（3）点Q的坐标是????? 4848????A O （第7题图）
B x 【解析】：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入y?ax2?2x?c中，
?9a?6?c?0?a??1得?，解得?．
c?3c?3??∴抛物线的解析式是：y??x2?2x?3． ∴顶点坐标D（－1，4）．
（2）令y?0，则?x2?2x?3?0，x1??3，x2?1，∴A（－3，0）
∴OA?OC?3，∴∠CAO=∠OCA． 在Rt?BOC中，tan?OCB?OB1?． OC3∵AC?32，DC?2，AD?25， ∴AC2?DC2?20，AD2?20；
∴AC2?DC2?AD2，?ACD是直角三角形且?ACD?90o，
中考 2020
∴tan?DAC?DC1?， AC3又∵∠DAC和∠OCB都是锐角，∴∠DAC=∠OCB． ∴?DAC??CAO??BCO??OCA， 即?DAB??ACB．
（3）令Q(x，y)且满足y??x2?2x?3，A(?3,0)，D(?1，4）
∵?ADQ是以AD为底的等腰三角形，
∴QD2?QA2，即(x?3)2?y2?(x?1)2?(y?4)2， 化简得：x?2?2y?0． ?x?2?2y?0由?， 2y??x?2x?3???3?41??3?41x??1?x2???44解得?，?．
?y?11?41?y?11?4112??88????3?4111?41???3?41?11?41?,,∴点Q的坐标是?????，???． 4848????例8、如图8，在平面直角坐标系xOy中，直线y?kx?3与x轴、y轴分别相交于点A、B，并与抛物线y??x2?bx?（1）求k和b的值；
（2）点G是y轴上一点，且以点B、C、G为顶点的三角形与△BCD相似，求点G的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点E：它关于直线AB的对称点F恰好在y轴上．如果存在，直接写出点E的坐标，如果不存在，试说明理由．
图8 1 O
1
x
y
147的对称轴交于点C?2,2?，抛物线的顶点是点D． 2中考 2020
【答案】：（1）b=1（2）点G有两个，其坐标分别是?0,1?和?0,? （3）点E的坐标是??1,???1?2???9?4?或?2,?
【解析】：（1） 由直线y?kx?3经过点C?2,2?，可得k??.
由抛物线y??x2?bx???9?2?12147的对称轴是直线x?2，可得b?1. 2（2） ∵直线y??x?3与x轴、y轴分别相交于点A、B，
∴点A的坐标是?6,0?，点B的坐标是?0,3?.
12∵抛物线的顶点是点D，∴点D的坐标是?2,?. ∵点G是y轴上一点，∴设点G的坐标是?0,m?. ∵△BCG与△BCD相似，又由题意知，?GBC??BCD， ∴△BCG与△BCD相似有两种可能情况： ①如果
??9?2?BGBC3?m5＝＝，那么，解得m＝1，∴点G的坐标是?0,1?.
5CBCD52BGBC13?m5?1?＝＝，那么，解得m＝，∴点G的坐标是?0,?.
5CDCB25?2?2??1?2?②如果
综上所述，符合要求的点G有两个，其坐标分别是?0,1?和?0,? ．
（3）点E的坐标是??1,?或?2,?.
例9、已知：如图9，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?ax?bx?3的图像与x轴交于点
2??9?4???9?2?A（3，0），与y轴交于点B，顶点C在直线x?2上，将抛物线沿射线AC的方向平移，当顶
点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处． （1）求这个抛物线的【解析】式； （2）求平移过程中线段BC所扫过的面积；
（3）已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，
中考 2020
求点F的坐标． ．
【答案】：（1）抛物线的解析式为y?x?4x?3
，F，F），F． （,0）（（5,0）（12-,0）34-5,0）（2）12（3）有F22【解析】：（1）∵顶点C在直线x?2上，∴x??22yByBOAxOAx图9 备用图 55b?2，∴b??4a． 2a将A（3，0）代入y?ax?bx?3，得9a?3b?3=0， 解得a?1，b??4．
∴抛物线的解析式为y?x?4x?3．
（2）过点C作CM⊥x轴，CN⊥y轴，垂足分别为M、N．
∵y?x?4x?3=??x?2?222?1，∴C（2，?1）．
∵CM?MA?1，∴∠MAC=45°，∴∠ODA=45°， ∴OD?OA?3．
∵抛物线y?x?4x?3与y轴交于点B，∴B（0，3）， ∴BD?6．
∵抛物线在平移的过程中，线段BC所扫过的面积为平行四边形BCDE的面积， ∴SYBCDE?2SVBCD?2??BD?CN?6?2?12． （3）联结CE.
∵四边形BCDE是平行四边形，∴点O是对角线CE与BD的交点， 即 OE?OC?2125. 中考 2020
（i）当CE为矩形的一边时，过点C作CF1?CE，交x轴于点F1， 设点F，在RtVOCF1中，OF12=OC2?CF12， （1a,0）即 a2?(a?2)2?5，解得 a?同理，得点F （2-,0）（ii）当CE为矩形的对角线时，以点O为圆心，OC长为半径画弧分别交x轴于点 、F F3、F4，可得 OF3=OF4?OC?5，得点F（5,0）（34-5,0）综上所述：满足条件的点有F，F，F），F． （,0）（（5,0）（12-,0）34-5,0）例10、如图，已知抛物线y=ax+bx的顶点为C（1，?1），P是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP交该抛物线对称轴于点B，直线CP交x轴于点A． （1）求该抛物线的表达式；
（2）如果点P的横坐标为m，试用m的代数式表示线段BC的长； （3）如果△ABP的面积等于△ABC的面积，求点P坐标．
【答案】：（1）抛物线的表达式为：y=x-2x （2） BC= m-2+1=m-1（3）P的坐标为（1?2,1） 【解析】：（1）∵抛物线y=ax+bx的顶点为C（1，?1）
2
2
2
55，∴点F （,0）122525252y P B O C (第10题图)
A x y P B O C (第10题图)
?a?b??1?∴ ?b
??1??2a?a?1解得：?
b??2?∴抛物线的表达式为：y=x-2x； （2）∵点P 的横坐标为m，
2
A x
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