多元函数求最值问题
一.【问题背景】
多元函数是高等数学中的重要概念之一，但随着新课程的改革，高中数学与大学数学知识的衔接，多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现，因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性，成为最值求解中的难点和热点。同时，多元函数最值问题中蕴含着丰富的数学思想和方法，而且有利于培养学生联想、化归的解题能力。因此，怎样求多元函数的最值，是师生们非常关注和必须解决的问题，也是高考考生们必须具备的解题技能。
二.【常见的方法】
导数法、消元法、均值不等式法（“1”代换）、换元法（整体换元 三角换元）、数形结合法、柯西不等式法、向量法等
主要思想方法：数形结合、化归思想等
三.【范例】
例1：已知实数x,y满足x?y?0，且x?y≤2，则 方法一 因为4≥2x?2y，所以
21?的最小值为 。
x?3yx?y4(2121?)≥(?)[(x?3y)?(x?y)]x?3yx?yx?3yx?y2?x?y?x?3y?x?3yx?y
?3?≥3?22当且仅当x?22?1,y?3?22取等号，故
213?22?的最小值
x?3yx?y4【评注】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数，
再用单调性或基本不等式求解，二是直接用基本不等式，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过不等式的途径进行。
a2b2?a?b? 方法二 利用不等式，引证： ?≥pqp?q?????2?2??2ab? 记向量x?(,),y?(p,q)，因为x?y≤x?y
pq2??2?1a?b?3?22?21ab≥ 所以 ，则 ?≥?≥4x?3yx?y2x?ypqp?q??222??2【评注】在求有些多元函数的最值时，恰当构造向量模型，利用向量数量积的性质，常可使
复杂问题变得简单明了，使繁琐的解题显得巧妙自然。 方法三 因为 x?y?0,x?y≤2，所以 0?y?1 又因为
21213?y?≥?? x?3yx?y2?2y2?2y2?1?y??1?y?1
?113?22当且仅当x?22?1,y?3?22取等号 ?≥26?(3?y?8)43?y【评注】该解法利用条件将不等式放缩后，通过消元，转化为一元函数，再用基本不等式求解。
方法四 因为 2≥x?y，
y21x?yx?y1?k1?k，其中k? ?≥???xx?3yx?yx?3y2x?2y1?3k2?2k1?k1?k?记 g?k??，k??0,1? 1?3k2?2k28k2?40k?442?5?因为 g??k??，令 ，得 k?gk?0??227?2?4k?6k?所以
42?542?5)上递减，在(,1)上递增 7742?53?22故 g?k?min?g(， )?74213?22所以 的最小值 ?x?3yx?y4由于 g?k?在(0,【评注】该解法充分体现了数学中的消元思想，将二元函数的最值转化为一元函数的最值，
从而利用导数研究函数最值，但在处理过程中充分考虑变量的取值范围，否则容易出错。 例2： 已知任意非零实数x，y满足3x2＋4xy≤λ(x2＋y2)恒成立，则实数λ的最小值为____．
222222方法一：依题可得3x?4xy≤3x?x?4y?4x?y
????3x2?4xy 因为x,y均不为0，故2≤4，所以 ?≥4
x?y2【评注】关注各项系数，直接利用基本不等式放缩，构思巧妙。
y3x?4xyx 方法二：因为x,y均不为0，所以 ?≥2?2yx?y1?()2xy3?4t3?4tft? 令t?，则 ?≥，记 ，由导数法可知 ??1?t21?t2x23?4 因为 f?t????1,4?，所以 ?≥4
【评注】利用消元思想，转化为函数最值，用导数法解决，是通解通法。
22222方法三：因为 3x?4xy≤?x?y 所以 (??3)x?4xy??y≥0
??2 当??3时，则 3y?4xy?≥0显然不成立
22 当??3时，同除y得 (??3)()?4xyx??≥0 y2
故 ?????3?0 解得 ?≥4
??16?4????3?≤0【评注】利用消元思想，转化为不等式恒成立问题，通过“?”法解决，但此法局限于二次
问题。
222变式练习：x?2xy≤m2x?y对于一切正数x,y恒成立，则实数m的最小值为 。
??例3：设实数a,b,c满足a?b≤c≤1，则a?b?c的最小值为 。
方法一：因为 c≥a?b 所以 a?b?c≥a?b?a?b
?(a?)?(b?)?故 a?b?c的最小值为?2222221221221 21 222【评注】根据条件进行放缩，利用配方法解决问题。
方法二：因为 c≥a?b 所以 a?b?c≥a?b?a?b
22(a?b)2(a?b)222??a?b? 又因为 a?b≥ 故 a?b?c≥a?b?a?b≥2222?故 a?b?c的最小值为?211a?b?1??????2 2?1 2【评注】根据条件进行放缩，关注到基本不等式，同时有整体配方思想。
方法三：换元法 令 a?rcos?,b?rcos?,r??0,1?
a?b?c≥a?b?a2?b2?r2?r?cos??sin??
?r2?2rsin(??)4?2??1???r?sin(??)??sin2(??)24?24?故 a?b?c的最小值为?2?
1 2222【评注】通过换元，利用三角函数的有界性解决问题。 变式练习：已知x,y,z?R，且x?y?z?x1,?y?z?例4：已知正实数a,b满足9a+b=1，则
225则xyz的最大值是 。 3，
27ab的最大值为 .
3a+b3
x2?y2方法一：利用不等式可得 ≤112?xy2b2a?2ab29?1，则 ab的最大值为2 ?≤3a+b123a?b1?1232ba32【评注】直接利用基本不等式解决问题。
22方法二：由 9a+b=1可得 ab≤1，则 6因为 3a?b≥23ab，此两处取号时均为3a?b
故
ababab12 ≤=≤=3a+b23ab2323×6122【评注】两次运用基本不等式，注意等号成立的条件。
22骣ab÷(ab)(ab)方法三：因为 ?===÷?22÷?桫3a+b9a+b+6ab1+6ab116+(ab)2ab=11(+3)2-9ab
骣ab÷1122 由 9a+b=1可得 ab≤，则 ?， ≤÷??6桫3a+b÷72所以
2ab2的最大值为
3a+b12c?o?s?,nb,?方法四：令 3a?si??2(0, )，则
ab1sinqcosq=?
3a+b3sinq+cosq 令 sin??co?s?tt?,t2?1 (1,，则2 ]sin??cos??211(t-)， 6t 于是
ab1sinqcosq=?3a+b3sinq+cosq1t由于函数f?t??t?在区间1,2?上递增，故当t???2时，取最大值2 12
四．巩固练习
m4?n41.设实数n?6，若不等式2xm?(2?x)n?8?0对任意x???4,2?都成立，则的3mn4
最小值为 .?80 319 101 32．已知M?max?3?2x,4x?2y,1?6y?，则M的最小值为 。3.已知 a,b,c?R,a?b?c?1,a2?b2?c2?1，则a的最小值为___________。?4.已知?an?是等差数列，若a12?a52≤10，则a5?a6?a7?a8?a9的最大值是 ．25 5．?ABC的三边长分别为a,b,c，并满足a≤b≤c，记K?min?,?，则K的取值
?bc?范围是 。??1,5?1??2?? ?
5
?ab?
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