设该晶面族的单位法量为 a1,a2,a3 由已知条件可得
a1?n?h1d,a2?n?h2d,a3?n?h3d,
假定h1,h2,h3 不是互质数，且公约数 p?1 即
h1?pk1,h2?pk2,h3?pk3
k1,k2,k3是互质的整数，则有 a1?n?pk1d,a2?n?pk2d,a3?n?pk3d
今取离原点最近的晶面上的一个格点，该格点的位置矢量为
r?l1a1?l2a2?l3a3, 由于 心定是整数，而且
r?n?d?l1a1?n?l2a2?n?l3a3?n 于是得到
pk1l1?pk2l2?pk3l3?1 由上式可得
k1l1?k2l2?k3l3?1 p上式左端是整数，右端是分数，显然是不成立的。矛盾的产生是 p为不等于1的整数的假定。也就是说，p只能等于1，即h1,h2,h3 一定是互质数。
5．证明在立方晶体中，晶列[hkl]与晶面（hkl）正交，并求晶面(h1k1l1) 与晶面(h2k2l2)的夹角。
[解答]
设d 是为晶面族（hkl）的面间距 ，n为法向单位矢量，根据晶面族的定义，晶面族（hkl）将 a,b, c分别截为h,k,l 等份，即
a?n=acos(a,n)=hd, b?n=bcos(b,n)=kd, c?n=ccos(c,n)=ld 于是有
ddd n=hi+kj+lk
aaad=(hi+kj+lk) a
其,i ,j,k 分别为平行于a,b,c 三个坐标轴的单位矢量，而晶列[hkl]
的方向矢量为
R=hai+kaj+lak=a(hi+kj+lk) 由（1），（2）两式得
dn=2R a即n与R 平行，因此晶列[hkl]与晶面（hkl）正交。
对于立方晶系，晶面(h1k1l1) 与晶面(h2k2l2) 的夹角，就是晶列 R与晶列
R2=h2a+k2b+l2c
的夹角，设晶面 (h1k1l1)与晶面 (h2k2l1) 的夹角为 ? 由
2222?k2?l2acos? R1?R2=R1R2cos??h1?k12?l12h221=h1a+k1b+l1c
=h1h2a2?k1k2a2?l1l2a2 得
??cos?1{h1h2?k1k2?l1l2(h?k?l)(h?k?l212121222222}
6．如图1.10所示，B,C 两点是面心立方晶胞上的两面心。 （1） 求 ABC 面的密勒指数；
（2） 求 AC 晶列的指数，并求相应原胞坐标系中的指数。
[解答]
图1.10 面心立方晶胞
??（1） 矢量BA与矢量BC的叉乘即是 ABC 面的法矢量
???11BA=OA?OB?(a?b)?(b?c)?(2a?b?c),
22???111BC?OC?OB?[c?(a?b)]?(b?c)?(a?c),
222?1?1a BA?BC?(2a?b?c)?(a?c)?(a?3b?c).
224因为对立方晶系，晶列[hkl]与晶面族（hkl）正交，所以ABC 面的密勒指数为
(131).
???11（2）AC?OC?OA?[c?(a?b)]?(a?b)??(a?b?2c).
22??可见 AC 与晶列 (a+b-2c) 平行，因此 AC 晶列的晶列指数为[112].
?由《固体物理教程》（1?3）式可得面心立言结构晶胞基矢与原胞基矢的关系
a??a1?a2?a3, b?a1?a2?a3, c?a1?a2?a3
晶列 (a+b-2c) 可化为 (a+b-2c)=-2(a1?a2?2a3) 由上式可知，AC晶列在原胞坐标系中的指数为[112]
7．试证面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 [解答]
设与晶轴a,b,c 平行的单位矢量分别为i,j,k面心立方正格子的原胞基矢可取为
aa1?(j?k),
2a(k?j),2
aa3?(i?j).2a2??由倒格矢公式
b1?2?[a2?a3]2?[a3?a1]2?[a1?a2],b2?,b3?, ???可得其倒格矢为
2?(?i?j?k),a2?b2?(i?j?k),
a2?b3?(i?j?k).ab1?设与晶轴a,b,c 平行的单位矢量分别为i,j,k ,体心立方正格子的原胞基矢可取为
a(?i?j?k),2aa2?(i?j?k),
2aa3?(i?j?k).2a1?以上三式与面心立方的倒格基矢相比较，两者只相差一常数公因子， 这说明面心立方的倒格子是体心立方。
将体心立方正格子原胞基矢代入倒格矢公式 b1?2?[a2?a3]2?[a3?a1]2?[a1?a2],b2?,b3?. ???则得其倒格子基矢为
2?(i?k),a2? b2?(k?i),
a2?b3?(i?j).ab1?可见体心立方的倒格子是面心立方。 8．六角晶胞的基矢
3aai?j,223ab??ai?j,
22C?cka? 求其倒格基矢。 [解答]
晶胞体积为 ??a?[b?c]
3a3aai?j)?[?(ai?j)?(ck)]2222
32?ac.2?(其倒格矢为
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