解析几何定值定点 专题

全国名校高考数学复习优质学案汇编（附详解）

x2y2【答案】(1) ??1 (2) 点G在定直线x?1上

43【解析】

a2?b2?1∴{424 ， 解得a2?4,b2?3，

?2?129a9bx2y2椭圆M的方程为??1

43（2）方法一

当点P为椭圆的上顶点时，直线l的方程为3x?4y?43?0，此时点P?0,3?，

?833?，则直线lA1P:Q??5,5????3x?2y?2?33x?y2?2?3和0直线lA2Q:33x?2y?63?0，联立

?33?0， { ，解得G?1,???233x?2y?63?0???33?当点P为椭圆的下顶点时，由对称性知： G?. ?1,?2????猜想点G在直线x?1上，证明如下：

由条件可得直线PQ的斜率存在， 设直线PQ:y?k?x?4??k?0?， 联立方程{y?k?x?4?3x?4y?12?022 ，

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消y得： ?3?4k2?x2?32k2x?64k2?12?0有两个不等的实根，

??322k4?4?43?4k216k2?3?16?91?4k2?0， ?0?k2?64k2?1232k2设P?x1,y1?,Q?x2,y2?，则x1?x2?， x1?x2?23?4k23?4k??????1 4?*?

则直线lAP:y?1y1y?x?2?与直线lA2Q:y?2?x?2? x1?2x2?2联立两直线方程得

y1y?x?2??2?x?2?（其中x为G点横坐标） x1?2x2?23y1?y2?， x1?2x2?2将x?1代入上述方程中可得

即3k?x1?4??x2?2???k?x2?4??x1?2?， 即证4x1x2?10?x1?x2??16?0 将?*?代入上式可得

?4?64k2?123?4k2???10?32k3?4k22?16

1616k2?3?20k2?3?4k23?4k2???0，此式成立

∴点G在定直线x?1上. 方法二

由条件可得直线PQ的斜率存在， 设直线PQ:y?k?x?4??k?0? 联立方程{y?k?x?4?3x2?4y2?12?0 ，

消y得： ?3?4k2?x2?32k2x?64k2?12?0有两个不等的实根，

??322k4?4?43?4k216k2?3?16?91?4k2?0， ?0?k2???????1 464k2?1232k2设P?x1,y1?,Q?x2,y2?,G?x3,y3?，则x1?x2?， x1?x2?3?4k23?4k2

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?x1?x2??x1?x2?2121?4k2?4x1x2?，

3?4k2y3y1? x1?2x3?2由A1， P， G三点共线，有： 由A2， Q， G三点共线，有： 上两式相比得

?y3y2 ?x3?2x2?2x3?2y2?x1?2?k?x2?4??x1?2? ??x3?2y1?x2?2?k?x1?4??x2?2???3，

x1x2??x1?x2??3?x2?x1??8x1x2?3?x1?x2???x1?x2??8解得x3?1

∴点G在定直线x?1上．

【名师指点】设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.

x2y2【举一反三】如图，设椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1,F2，点D在

ab椭圆上，DF1?F1F2，

2|F1F2|. ?22，?DF1F2的面积为

|DF1|2（1）求该椭圆的标准方程；

（2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.

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x25?32【答案】（1）?y2?1；（2）存在满足条件的圆，其方程为x2??. y????23?9?2【解析】

从而DF1?2329222，由DF1?F1F2得DF2?DF1?F1F2?，因此DF2?. 222所以2a?DF1?DF2?22，故a?2,b2?a2?c2?1

x2因此，所求椭圆的标准方程为：?y2?1

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